I.a...(2/l — 2/X-+-1) I .2...2fi

équation qui déterminera B» si l'on connaît B^ B^, ..., B;,.i ; en y faisant successivement n = i, a, 3> . . .> on obtient

d'où Ton tire

2l6 CALCUL INTÉGRIL.

La suite des nombres de Bemoulli est, comme on le voit, d'abord décroissante, mais, à partir de Ba, elle devient indéfiniment croissante.

543. Revenons maintenant à la formule (i), qui donne l'expression de logy {x). Cette formule se réduit, en faisant usage de l'équation (5), à

Or on a

pour toute valeur de l'entier /x; en outre, comme la quantité O reste comprise entre o et i , l'intégrale

© e^'^a^'^da est positive et inférieure à / e'^a^'^da^ c'est-à-dire inférieure à \n^[ — 5 ^^ pourra donc la

représenter par B ' \n^[ — ? en désignant par 6 une

quantité comprise entre o et i. D'après cela, la valeur précédente de \o^(f[x) devient

! "*^ ' i.ax 3.4 «* (2/1— -1)2/1 x*"—*

et, en portant cette valeur dans l'équation ( 1 5) du n^ 537,

chàpithe m. 2x7

on aura, pour toute valeur positive de Xy

la quantité d qui multiplie le dernier terme étant, nous devons le répéter, toujours comprise entre o et i.

Si Ton prolonge à Tinfini la série du second membre, on a la formule de Stirling, savoir :

iin — i]in X

Il est facile de voir que cette série est divergente, quelque grande que soit la valeur attribuée à j: ; en eflet, la va-

leur absolue du terme grénéral f — i)""* ■; ^^ — -^^-r

° ^ ' [in —1)2/1 jr*"-*

est égale, d'après la formule (4); au produit des deux

quantités

in — a

mx iitx mx mx

2ir*a?\ 2*'» S*** /

ITC^X

La seconde de ces expressions tend vers la limite — ^

quand n augmente indéfiniment; la première expression, au contraire, augmente au delà de toute limite, car elle est un produit dont les facteurs inférieurs à i sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux qui sont supérieurs à i, et même à telle quantité que Ton voudra, peut devenir plus grand que tout nombre donné. Il résulte de là que les termes de la série (10) croissent, à partir d*un certain rang, au delà de toute limite, et en conséquence cette série est divergente. '

SiS CALCUL INTÉGRAL.

544. Maïs il est très>remarquable que la série de Stirlîng, malgré sa divergence, fournisse un procédé trèsexact et très-commode pour calculer logr(a:-i-ï), et l'approximation que Ton peut obtenir par cette voie est d'autant plus grande que x est plus considérable. EfTectlvement^ si j: est supérieur à i, les termes multipliés par les nombres B dans la formule de Stirling vont d'abord en décroissant, et Ton voit par la formule (9) que l'erreur commise en faisant usage de la formule (10) est toujours moindre en valeur absolue que le premier des termes négligés. On aura donc la plus grande approximation possible en s'arrêtant au terme qui précède le terme minimum et ce terme minimum lui-même donnera une limite supérieure de l'erreur que l'on aura commise. Par exemple, si l'on néglige complètement, dans la formule (10), les termes multipliés par les coefficients B, Terreur commise sera positive et inférieure à

— ' - ou à î à cause de B, = ^; on aura donc

l logr(j?-l-i)> ilog27r — ar-h ( x H- -jlogjr,

I logr(x 4- 1)< ^ logaTT — ^ -+- (^ ^- ^j logx '^ Y^ ou, en revenant des logarithmes aux nombres,

r(x -h i)< ^une^x^^^eî^,

comme nous l'avons déjà trouvé au n« 538.

En parlant de ces formules, on peut obtenir deux limites du nombre de Bernoulli B;,, dont l'une nous sera utile dans ce qui va suivre. En posant, pour abréger,

Sii» — I -h ^ -i- ^ 4- TîT^ 4- . . ,