CHAPITRE UT. SIQ

on a, par la formule (4)>

d'où l'on tîre

B«+i __ (aw-h i](a/zH-2) S^hj Bjj» 1.2, 3. . .a/i S^^

mais, comme S,,^ décroît quand /x augmente, on a

B„+i (2/1 -f- l)f2/H- 2) Bf ^- 1.2>3...2/t

ou, à cause de Bi = ^r»

La formule (i4) donne une limite supérieure de B/i; on aura une limite inférieure du même nombre en remplaçant S^n paûT I dans son expression exacte ; il vient ainsi

Si l'on remplace r(272 + i) par sa limite supérieure, tirée des inégalités (12), dans la formule [iA)> ^^ P^ ^^ limite inférieure, dans la formule (i5), on aura

le rapport de ces deux limites de B» est ^ e

2aO CALCUL inTéGRÂL.

545. Les formules que nous venons d'établir ont été données par Cauchy; elles permettent de déterminer facilement l'approximation avec laquelle on peut calculer logr(x-h i) par la formule de Stirling.

Désignons par Un la valeur absolue du terme de cette série qui dépend du coefficient B;,, on aura

" (2/1 — i; 2/1 X*'»-*' i/„ B„ (2/ï-h lî(2/l4-2) X*'

la seconde de ces deux formules donne, à cause de l'inégalité (i3),

iVm ^ (2/8 — 1)2/1

et Ton aura, à plus forte raison,

tuil^jt. et f^<f-^V.

Donc M/i^i sera inférieur à Un tant qu'on aura n<^ix ou n = ix. Ainsi, quand x est plus grand que i , la série de Stirling est décroissante dans les premiers termes, et, si X est un nombre entier, ce décroissement aura certainement lieu jusqu'au terme de rang 3a:, lequel sera lui-même plus petit que le terme suivant.

Cela posé, désignons par tn la valeur absolue de l'erreur commise en s'arrétant, dans la série de Stirling, au terme multiplié par Bn] on aura, comme on l'a vu,

et, à plus forte raison, à cause de l'inégalité (i3),