CHAPITRE IV. aS

Si l'on emploie les coordonnées polaires p et <a, et que l'on désigne toujours par t la variable indépendante, on aura (n" 202)

Des formules analogues ont lieu pour les courbes gauches. Désignons par s Tare d'une courbe quelconque, compté à partir d'une origine arbitraire ; dans le système des coordonnées rectangulaires, on a

et, quand on emploie les coordonnées polaires r, 6, ^, la même difTérentielle a pour expression (n^ 259)

ds = \Jdf^ -ArT^dQ^-^T^ sin* Q d'i^\

donc, si Ton représente par t la variable indépendante, l'arc S, dont les extrémités répondent aux valeurs t© et T de £, aura pour expression

Ç sjdx^-hdy'^-^dz^

Jrydx*-hd)

S = / ^ — 7 ' dt ou

^dr^ -h r« r/6* -h r* sin* B J>* ,

dt»

S'il s'agit d'une courbe sphérique, et qu'on prenne le centre de la sphère pour origine des rayons vecteurs, on aura r=: const., et la formule précédente deviendra

Nous avons donné, dans le Calcul différentiel, l'expression d'un arc de parabole, et nous avons été conduit

a38 CALCUL INTÉGRAL.

naturellement à traiter aussi de la rectification de quelques autres courbes. Il serait superflu de multiplier ici les exemples, et nous nous bornerons à en présenter quelques-uns qui offrent un certain intérêt pour la Géométrie ou même pour l'Analyse.

Rectification de V ellipse et de l'hyperbole*

555. Considérons une ellipse dont le demi-grand axe sera pris pour unité et dont l'excentricité sera représentée par h. Les coordonnées rectangulaires de la courbe

rapportée à ses axes seront (n**221) sinç, yï— A^ coscp, et

la différentielle de l'arc sera ^i — A^sin'ydy. D'après cela, si l'on désigne, avec Legendre, par E(y) la longueur de l'arc d'ellipse compté à partir de l'une des extrémités du petit axe, où l'angle f est nul, et terminé au point qui répond à une valeur quelconque de f , on aura

(i) E(y)= r v^i — A*sm«y£/7,

et l'on peut écrire aussi [p? 221 )

/© v^ — A'sin'y «/o V* — AL*sm*9)

Si l'on considère en même temps une hyperbole dont le demi-axe transverse soit h et le demi-axe non transverse y/i — A^, les coordonnées de la courbe rapportée à ses axes pourront être représentées (n® 222) par

(i — A^)tangy et— ^^ -\ désignant alors par ï(<f)

l'arc d'hyperbole compté à partir de l'axe des sommets où cp est nul, et terminé au point qui répond à une valeur

cHAPiraB IV. 289

quelconque de f , on aura

,3, „„=/'[lrJ:^

et Ton peut écrire aussi (n^ 222)

(4) { •/© V^i — A*sin'y •/o ^i — A*8in*y

Les formules (2) et (4) montrent que Tare d'ellipse E(ç) et l'arc d'hyperbole T(9) s'expriment par le moyen des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce^ et réciproquement ces intégrales elliptiques peuvent S'exprimer au moyen d'un arc d'ellipse et d'un arc d'hyperbole ; il convient de se rappeler que la partie algébrique tangcp y'^i — A^sin^ç contenue dans la formule (4) est égale à la tangente, à l'extrémité de l'arc T (?)i terminée par la perpendiculaire abaissée du centre de la courbe sur cette tangente (n** 222).

Legendre a désigné par la notation F (9) la fonction elliptique de première espèce ; ainsi l'on a

Ja vi — /[*sm'«

en faisant^ pour abréger, comme au n? 438,

(6) Ay=:y^l — Â[*sin*y;

mais l'illustre auteur a adopté, pour fonction de deuxième espèce, l'arc d'ellipse E(cp), et de là la dénomination de fonctions elliptiques appliquée aux transcendantes que

a4o CALCUL INTÉGRAL.

nous considérons. La formule (a) donne

en sorte que la fonction que nous sommes convenus de choisir pour constituer la deuxième espèce des intégrales elliptiques s'exprime au moyen de Tare d'ellipse et de la fonction de première espèce.

La formule (4) donne aussi , en faisant usage de la formule (2),

556. On peut développer en série les arcs d'ellipse et d'hyperbole, ou, ce qui revient au même, les fonctions F(ç) et E{y) (n® 483). On a, par la formule du binôme.

Af) =1 /:'sin*9) y A:*sin*9> ^—p k^sin^tf — .. .,

et, par conséquent,

F{f)=f-\ — A:* I sin^fdf-i ^ A:* / sin*ç>c?7

sin^ f df

H r-^ k^ I SI

E(y) = y— IaM sin«yrfy~^Ar*J sin*?^?

^•4-^ Jo

Les séries contenues dans ces formules sont toujours convergentes à cause de /r<[i, et l'on verra plus loin qu'on peut toujours diminuer ce module autant qu'on le