CHAPITRE IV. a

L'équation de la courbe devient alors

3asinfiacos6> sin* » -I- cos* w

et celle de Tasymptote est

sm 6> + cos 6>

L'aire comprise entre la courbe et les rayons qui répondent aux valeurs w© et Ï2 de o) sera

^^ . dfù

la quantité sous le sîgne /est la différentielle de — — ;

, J H-tang*»

on a donc

«=if!r__i » 1

a [ 1 -f- tang'wo I H- tang^ttj Si Ton veut l'aire de la surface de la boucle formée parla courbe, on fera Wo = o, Q=^, ce qui donnera pour 3fl«

résultat

Pour avoir Taire comprise entre une branche de la courbe, son asymptote et deux rayons vecteurs, il faudra retrancher u de Taire m< comprise entre Tasymplole et les rayons vecteurs. Cette aire m< est celle d'un triangle ; elle a d'ailleurs pour expression

(t + tang«/ 2 L* -*- tang«o I -4- tangaj'

ou

a36 CiLGUL iVTtOVikL.

on aura donc

«'F 2 — tanga 2 — tang»o 1

* ^ L I — tangft -+- tang'û i — tangw© ->- tang'»o J

Si l'on veut l'aire indéfinie comprise entre la partie négative de Taxe des x, la courbe et son asymptote, il

faudra faire Wo= —,•> i2=7r, et il vient alors

on trouve évidemment la même valeur pour l'aire comprise entre la partie positive de l'axe des j^, la courbe et son asymptote. En ajoutant à ces deux aires celle du triangle formé par l'asymptote et les axes, laquelle est

encore égale à — > on obtiendra l'aire totale comprise

entre les deux branches infinies et leur asymptote. Cette aire est égale, comme on voit, à celle de la boucle fermée.

De la rectification des cowbes.

554. Le problème de la rectification des courbes planes ou gauches ne diffère pas de celui dont nous venons de nous occuper.

Soit s un arc de courbe plane compté à partir d'une origine arbitraire ; dans le système des coordonnées rectangulaires, on a

ds = ^dx^ -f- dy^ ;

si donc on désigne par t la variable indépendante, par <09 T les valeurs de t qui répondent à l'origine d'un arc S et à son extrémité, on aura, en supposant que t varie dans le même sens quand on décrit l'arc S,

dt

dt.