im — i) ir
sin^^y^^ï =.
et, par conséquent,
'■^-î[-fâ"'-fe)'"'-(à^)""--]'
la seconde des formules (lo) donne la longueur du quadrant de Tellipse.
Du changement du module dans les fonctions elliptiques. — Théorème de Landen,
557. Une des propriétés les plus remarquables des intégrales elliptiques de première espèce consiste en ce que chacune de ces fonctions peut être transformée d'une infinité de manières différentes en une autre fonction elliptique de même espèce dont le module est à volonté plus petit ou plus grand que le module de la proposée. Il en résulte que l'on peut former diverses séries de modules, indéfinies dans les deux sens, dont les termes s'approchent respectivement de zéro et de l'unité , et qui répondent à des fonctions elliptiques de première es-
S. — Caio, int, i6
242 CALCUL IITTéGRAL.
pèce égales entre elles. Nous ne saurions entreprendre dans cet Ouvrage le développement de Fimportante théorie de la transformation des fonctions elliptiques ; mais nous croyons utile cependant de faire connaître la première échelle de modules découverte par Legendre, ce qui nous permettra d'établir le curieux théorème de Landen relativement aux arcs d'hyperbole.
Soient k une quantité donnée comprise entre o et i, f un angle variable, et posons comme précédemment
Ay = ^1 — /•"siu*^),
le radical étant pris avec le signe H- • On peut déterminer un angle f i qui satisfasse aux deux équations
(i) 8in(29i — ç)=:^siny, cos[itfi — y) = Af,
qui, en outre, varie d'une manière continue avec cp et s'annule en même temps que lui. Puisque Acp est positif, l'angle 291 — 9 restera toujours compris entre
Jm
et H — ; si l'on désigne par 4>* l'angle compris entre o
et - qui a Arsinf pour sinus, on aura
en sorte que 91 est déterminé sans ambiguïté lorsque 9 est donné ; réciproquement la valeur de 9 est entièrement déterminée quand cpf est donné. Ces deux angles varient simultanément de o à +00 ou de o à — qo ;
quand 9= tt, 4> est nul et l'on a cpi = -•
Si l'on ajoute les équations (i) après les avoir multipliées par — sin9et-;-cos9, puispar H-COS9 et + sin9,
il viendra
d'où
