CHAPITRE IV

cos af , := cosy ^f — A" sin'^, sin2f, z=:siny[/cosy -+- ç>Ay),

2 cos*ç>, = I — X- sin*^ -4- cosy Ay,

2 sin^i cosçi := sinç) (^ cosy -f- Aç>). La première des équations (i) donne aussi

(3; tangç>=— - — IL,

A* -f- COS 2 ^1

(4) tang(y — fi)= ^^ tang9,, et, si l'on pose

on aura encore

sin ® = — ~ 13 ,

i-hA- Al y,

Af = — m

Ai(pi

Ensuite, la première des formules (i) donne par la différentiation, en faisant usage de la seconde formule,

2^/yj df

kcos^ -T- Ay Ay

OU, à cause de la troisième formule {2) et de la première formule (5),

dff\ I -T- A' </y

et, puisque (f et f « s'annulent en même temps, on aura

ce qui est Timportante formule découverte par Legendre. Si Ton pose

.(..„=jf'à, r„„,.,=jf"^.

l'équation (6) deviendra

Désignons par F| (A), Fi (A*! ) les fonctions complètes de modules k et k^; lorsque (f est égal à tt, Tangle f i a

ir

la valeur - ; d'ailleurs on a évidemment a'

F(^,7r)=r2F[^, -WaFif/-), donc

558. D'après ce qui précède, les modules k et k^ peuvent être ramenés l'un à l'autre; ces modules sont liés entre eux par la relation

(9) '^^^T^Tx-'

et si l'on désigne par k'^ k\ les modules complémentaires de k et kij c'est-à-dire y/i — k^ et ^i — kl, on aura

(lo) A\= r

d'où