CHAPITRE IV

donc, en supposant que dp ait e signe de daf

y I — /^sin*«

et l'arc y compté à partir du point de l'axe polaire qui

correspond à a = o, ou p = y^« -+- 1 db y//2 , sera exprimé par l'intégrale elliptique de module k et d'amplitude a.

ce qu'il s'agissait de démontrer.

On voit aisément que, dans le cas de n = i , la courbe dont nous parlons se confond avec la lemniscate.

L'aire du triangle générateur OMP est y 9 et l'on

trouve, d'ailleurs, aisément

- û*ata= y H- coiist.y 1 ' 4

d'où Ton conclut que l'aire du secteur de courbe, comptée à partir de l'axe polaire^ est toujours égale à l'aire du triangle générateur.

570. Je passe maintenant à l'examen de la seconde propriété de ces courbes remarquables. On a, dans le triangle OMP,

p«=: a/1 H-i -t- a v'/i [n -hijcos (a-f-^),

d'où

/ o\ p*— (2/2-hl) . P^M

sm(« + P)= Jl =±^>

a68 CALCUL inTÉGRÀL.

d^où Ton conclut que l'inclinaison de la normale sur le rayon vecteur est précisément égale à a -H ^ ou à son supplément; si donc on fait au point M un angle PMN = MOP, en supposant d'abord le premier cas, MN sera la normale au point M de la courbe, lequel correspond à la position OMPdu triangle générateur ; d'ailleurs le point O se trouve nécessairement sur le segment capable de l'angle PMN, que l'on décrirait sur MP, ce qui

montre que MN est tangente au cercle circonscrit au triangle générateur, et, si C est le centre du cercle circonscrit, le , rayon MC sera précisément la tangente à la courbe. Il est d'ailleurs évident que, quand le sommet M du triangle décrira la courbe d'un mouvement continu, cette propriété se conservera pour toutes les positions de ce triangle.

On pourrait supposer que l'inclinaison de la normale sur le rayon vecteur fût égale au supplément de a -H (3 ; dans ce cas, on ferait tourner le triangle OMP autour de OM, on aurait un second triangle, qu'on pourrait substituer au premier, pour engendrer la courbe, et la propriété précédente serait alors relative à ce nouveau triangle.

De ce qui précède résulte le mode de génération suivant.

Théorème II. — Si le triangle OMP varie de telle