CHAPITRE IV
elliptiques de première espèce offre de très-grandes difficultés, et Legendre, qui s'est beaucoup occupé de cette recherche, n'a pu trouver aucune courbe possédant la propriété de la lemniscate. J'ai donné, il y a plusieurs années, la solution complète du problème, en me bornant toutefois au cas des courbes dont les coordonnées rectilignes peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'une même variable. J'ai été conduit ainsi à une infinité de classes distinctes renfermant chacune un nombre illimité de courbes individuelles dent les arcs représentent des intégrales elliptiques de modules différents. La discussion ultérieure des résultats obtenus a mis en évidence deux propriétés géométriques remarquables communes à toutes les courbes de la première classe, et qui peuvent servir aies définir; la théorie de ces courbes devient dès lors indépendante des considérations analytiques qui m'ont servi à les découvrir.
569. Théorème I. — Soit n un nombre entier, ou fractionnaire, ou même incommensurable, et construisons le triangle OM P tel que
OP = v^« et MP = v/'' "•- ' »
puis imaginons que, le sommet O restant fixe, le triangle varie de telle sorte que le cosinus de l'angle tù formé par le seul côté variable OM avec une droite fixe soit constamment égal au cosinus de l'angle
/iMOP — (/î-t-i)OMP;
le point M engendrera une courbe [algébrique si n est commensurable) dont l'arc sera exprimable en fonction du rayon vecteur, par une intégrale elliptique réduc^
tible au module
a66 CALCUL INTÉGHAL.
Soient, en effet, MOP = a, OMP = (3 ; Téquatîon de la courbe résultera de l'élimination de ot et /3 entre
COSw = cos[/ïa — ['* -H Ol^]'
COSa =r ' -y COSp = — ^ — ==•
2py« 2p\//l-+-I
De ces deux dernières équations on tire
sina=: -y sinpr=
en faisant, pour abréger,
Gela posé, on trouve, par la différentiation,
zh lira := n doL — ( /i -h l ) r/p,
et, par suite, on aura, pour la différentielle de l'arc,
dp
±ds=.2Jn[n-{-i)-^
Des équations précédentes on déduit encore les formules suivantes, qu'il convient de remarquer !
/— d(x, dQ
Zizds=^n — > zn:ds= \n-\- i •
^^ cos/3 ^^ cosot
On a d'aiUeurs, en posant k= i/ >
in(3 =: it sina, cosp = ^i — A'sin'a;
sin
