CHAPITRE V

DE LA CUBATURE DES SOLIDES ET DE LA QUADRATURE DES SURFACES COURBES. — DES INTÉGRALES MULTIPLES.

Volume d'un cylindre à base quelconque*

571 . La base d'un cylindre peut être décomposée en éléments infiniment petits, soit par des parallèles à une direction donnée, soit par des rayons issus d'un point intérieur. Considérons le premier mode de décomposition ; chacun des éléments sera compris entre deux parallélogrammes qu'il est facile de construire, entre deux rectangles si l'on veut, dont le rapport aura pour limite l'unité. La base B du cylindre sera donc la limite de la somme des rectangles intérieurs ou de la somme des rectangles extérieurs. D'un autre côté, le volume V du cylindre, dont nous désignerons la hauteur par H, est compris entre la somme des prismes intérieurs de hauteur H et la somme des prismes extérieurs de même hauteur; d'ailleurs ces deux sommes de prismes tendent l'une et l'autre vers une limite égale au produit BH; donc on a V =s BH.

Expression du volume de la portion d'un corps quelconque comprise entre deux plans parallèles.

872. Soient O j:, Oj^ Oz trois axes de coordonnées rectilignes ; désignons par Vie volume d'un segment d'un

chapithe V. ayi

corps quelconque, compris entre deux plans M^No, MN parallèles au plan j^2 et répondant aux abscisses Xq etx.

Si l'on suppose Xq constante et x variable, le volume V sera une fonction de x dont il est aisé d'avoir la diiOférentielle. A cel effet, considérons les sections faites dans le corps par les deux plans MN, M'N', parallèles kyOz, et qui correspondent aux abscisses x et x -h Ax ; ces deux plans comprennent entre eux le volume AV; nous représenterons par u Taire de la section déterminée par le plan MN. Prenons un point i à l'intérieur de l'aire u, menons lï' parallèle à l'axe OX, et par if faisons passer un demi-plan quelconque miï W, qui rencontre les plans MN, M'N' suivant im, iW, et la surface du solide suivant la courbe mn^. Menons par tous les points de l'arc mm' des parallèles à mi, terminées à la droite îi ; soient /| la plus petite de ces droites, I2 la plus grande. Concevons que l'on porte sur im les longueurs i/;^ , 1^2 égales respectivement à /| et I2» Si l'on fait tourner le demi-plan mii^rn! autour de la droite fixe ii'f les deux points p^ et p^ décriront dans le plan MN deux courbes fermées dont nous représenterons les aires par U| et u^ •

La surface du corps étant une surface continue, il est évident que les aires U| et u^ tendent vers u quand ùiX tend vers zéro. Soit a l'angle que fait Taxe Ox

avec le plan j-O^, la distance des plans MN, M'N' sera Ax sina. Construisons le cylindre qui a pour l'une de ses bases le contour de u^y dont Tautre base est dans le plan M'N^ et dont les arêtes sont parallèles à Oo:; construisons de même un deuxième cylindre avec le contour de Mq. Le volume AV est compris entre les volumes de ces deux cylindres, qui ont pour mesures

if|SÎQaAXy ifisinaAXy

le rapport — est donc compris entre U| sma et U2 sina, et Ton a, en conséquence^

-— =Msma, ou aV=sinatf.r.

aas

D'après cela, si l'on donne à x une valeur déterminée X, le volume V cki segment que nous considérons aura pour expression

sina I udxy

u étant, nous devons le répéter, l'aire de la section faite dans le corps par le plan parallèle au planj^^, qui répond à l'abscisse x; dans le cas des axes rectangulaires, on a plus simplement

dx.

Le résultat que nous venons d'obtenir suppose l'aire u connue en fonction de x ; la détermination de cette aire exige elle-même une intégration ; mais il y a des cas où cette intégration peut être effectuée immédiatement. Nous allons en présenter quelques exemples.

chàpithe V. nyi

application à quelques exemples.

873. Exemple I. — Trouuer le volume d'un cône à base quelconque.

Prenons le sommet O du cône pour origine de trois coordonnées rectangulaires, et la perpendiculaire abaissée de ce sommet sur la base pour axe des x.

y^~^^ ^'^ -^WL,*

Si l'on désigne par B la base du cône, par H sa hauteur.

on aura, comme on sait,

et le volume V sera

v = iBn.

574. Exemple II. — Trouver le volume du segment d'un ellipsoïde compris entre deux plans parallèles.

Rapportons Tellipsoïde à trois diamètres conjugués Ox, O^f Oz dont les deux derniers soient parallèles aux bases du segment; l'équation de la surface du corps sera

^ + ^+7. = ' ou .^-—-+— —=^,

S. — Caie. int. lâ

274 C4LCt)L IHTÉGRAL.

a', Vy cf étant les demi-longueurs des diamètres conjugués. L^aire u est ici celle d'une ellipse dans laquelle deux diamètres conjugués ont pour longueurs les doubles des expressions

V — î^' '^V^--5fî

en outre, Tangle de ces diamètres est égal à Tangle d que forment les demi-diamètres b*y d de Tellipsoïde. On a

u =:=7r6Vsia5 ( I — -^1 9

et, par conséquent, si Xo, X désignent les valeurs de x qui répondent aux bases du segment, et que a soit l'angle formé par l'axe des x avec le planj^z, on aura

V=7r^'c'8in6sina / (i ri)^

y = ^ Tra'^'c'sinOsina;

si l'on prend pour ci y b\ d les demi-axes a, J, c, on aura 6 =^ 90**, a = 90®, et

La comparaison des deux formules précédentes donne

a' b* d sin 9 sin oc = abc^ ce qui exprime le théorème connu, d'après lequel le