CHAPITRE V

parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde a un volume constant.

Il est évident qu'on obtiendra, par un calcul analogue^ le volume d'un segment d'hyperboloïde à une ou deux nappes, ou celui d'un segment de paraboloïde elliptique.

575. Exemple III. — Etant donnés trois axes de coordonnées rectangulaires, on demande de déterminer le "volume compris dans l'angle des coordonnées posi~ tisses et limité par le paraboloïde hyperbolique représenté par l'équation xy = az, a étant une constante, par le plan ABC qui a pour équation x -r-y -^ z=af et par le plan des x ety.

Le paraboloïde est coupé par le plan ABC suivant une hyperbole AMB, et il passe par l'axe des Xy ainsi que par celui desy. Le plan PMQ, parallèle au planez, qui répond à l'abscisse x, coupe cette surface suivant une droite MP, et le plan ABC suivant une droite MQ parallèle à BC, trace du même plan ABC sur le planez; enfin il coupe le plan ay suivant la droite PQ parallèle à O^. L'aire désignée par u au n^ 572 est donc ici celle du triangle PMQ par lequel est engendré le volume qu'on demande d'évaluer.

La base PQ de ce triangle est l'ordonnée y, relative à

Tabscisse x, de la ligne AB trace du plan ABC sur le plan xy ; on a donc

la hauteur MH du triangle PMQ est le z, relatif à l'abscisse Xy de l'intersection du paraboloïde et du plan ABC; l'élimination de jr entre les équations des deux surfaces

donne

x[a — js — z) =az;

ainsi l'on a

et, par conséquent, la valeur de u est

D'ailleurs le volume demandé V est limité par les plans qui répondent aux abscisses o et a ; donc on a

et, en effectuant, on trouve

V = (il - iog4) «».

application aiix solides de réi^olution.

576. L'aire désignée par u au n° 572 s'obtient immédiatement dans le cas très-étendu des solides de révolution autour de Taxe des x, puisque cette aire est celle d'un cercle ou de l'espace compris entre des cercles concentriques.

Soit Mo M une courbe donnée située dans le plan des xy et considérons le solide qu'engendre en tournant au-

CHÀPITIIB y.

tour de Taxe des x l'aire MoPqPM comprise entre la courbe MqM, l'axe des x et les ordonnées MoPo, MF.

Dans ce cas, Taire u sera celle d'un cercle de rayon jr ; on aura donc

Xo et X désignant les abscisses qui répondent aux ordonnées xMoPo, MF.

Supposons qu'on demande le volume V engendré par Taire MoNoNM comprise entre deux courbes données MoM, NqN et les ordonnées MqFq, MF. Soient j^ eij' les ordonnées des deux courbes; Taire u sera celle de l'espace compris entre les cercles concentriques de rayons y et y'; on aura donc