CHAPITRE y. 3ll

des lignes définies par les équations

dans lesquelles u et i^ sont des fonctions des coordonnées X, j, z, et a, /3 deux paramètres variables. Les équations (5), jointes à celle de la surface, permettent d'exprimer X, y y z en fonction de a et j3; soit

Projetons le contour C et les lignes qui divisent l'aire S' sur le plan des xy. Supposons que la figure dont nous venons de nous servir pour le cas des aires planes représente celte projection, et désignons par A', A'j, M', M'j, ... les points de l'espace qui se projettent en A, Af, M, Mf, .... Le quadrilatère ABAfBi est la projection d'un élément w' de la surface, et, si l'on représente par Ç l'angle du plan tangent en A avec le plan des xy, on a

cosÇ ^ ' cosÇ da dp ^ ' ^

n devenant nul avec dcc et r/{3. Représentons par /, s\

les arcs qui se projettent suivant St et ^2, portons sur

les tangentes en A' à ces deux arcs des longueurs égales

//y ds à -7-* 9 ~9 et achevons le parallélogramme ayant comme du dp 1 o V

côtés adjacents ces deux droites. Le parallélogramme de l'espace se projette sur le plan des xj suivant un parallélogramme dont deux côtés adjacents sont les tangentes en A aux arcs 5|, s\ ; d'ailleurs, les projections des

, ds. ds^ , , , dst ds, •

longueurs -^j — - sont égales à — j -rr-* La projection

du parallélogramme du plan tangent a donc pour mesure

ds* ds^ . I ds* dsq . . , , ,

-7^ — sini, et -- — ;^sini est la mesure du parai-

doc. dp cosÇ da dp '■

3ia CALCUL IITTÉGIIÀL.

lélogramme du plan tangent. Mais ce dernier parallélogramme a aussi pour mesure -^ -^sini'; il en résulte que l'on a

(') »'=^^sini'(.+,)rfa^P,

et, par conséquent, comme au numéro précédent,

-~ sin idad^.

S désignant maintenant Taire de la surface courbe, ^i, ^3 les arcs des courbes tracées sur cette surface, et i Fangle des courbes.

Formule générale pour la détermination- des volumes.

600. La formule par laquelle nous avons déterminé le volume des corps au n^ 582 est, dans Thypothèse des coordonnées rectangulaires.

xo ^yo

comme Z — Zq est l'intégrale de la diflTérentielIe dz entre les limites Zq et Z, on peut écrire aussi

\ /*T /iZ

I dx j dy j dz,

'0 •'y» ^ «0 ou simplement

Y= f f Cdxdjrdz,

quand on juge inutile de mettre en évidence les limites de l'intégration. L'expression précédente de V est une