CHAPITRE T. 3o

au point A la tangente à la courbe AA| , que Ton obtient par la variation du paramètre a ; la distance de chaque point de cet arc à la tangente en A est une quantité du second ordre, et l'arc est compris entre deux parallèles à la tangente, dont la distance est du second ordre. Pareillement, Tare BB| est compris entre deux parallèles à la tangente en B à cet arc, et dont la distance est aussi du second ordre. Remarquons maintenant que l'angle des tangentes en A et B, étant du premier ordre par rapport à Aj3, est encore du premier ordre par rapport à ùx. En opérant de même pour les arcs AB, A|B|, on obtiendra deux parallélogrammes entre lesquels sera comprise l'aire o) du quadrilatère ABA|B|. Les sommets des deux parallélogrammes sont distants respectivement des points A, B, A| , B| de quantités du second ordre : leurs côtés ne différent donc des cordes AA|, AB ou des arcs AAi, BB| que de quantités du second ordre. Représentons par s^ et 52 les arcs des courbes comptés à partir de deux origines fixes, par 1 l'angle des tangentes à ces deux courbes au point A; Taire du quadrilatère ABAjBi pourra être représentée par la formule

dans laquelle e désigne une quantité qui s'annule avec ùa et Ap.

Revenons au cas où Aa et A^ sont des quantités infiniment petites indépendantes. Pour chaque système de valeurs de A« et de A(3, on pourra déterminer deux nombres entiers p et q tels que la différence des rapports --^> - soit moindre qu'un nombre donné, et, si

l'on fait Aa = pA'a, A(3==^A'(3, le rapport -7^ sera

3lO CALCUL INTÉGKAL.

voisin de Tunité. A l'aide des lignes des deux systèmes, qui correspondent à des variations égales à A'a ou ù!^ des deux paramètres, divisons le quadrilatère ABA|B| en pq quadrilatères, à chacun desquels on pourra appliquer la formule (3). Lorsque Aa et A|3 sont petits, les

valeurs de -— -;^ sini relatives aux nouveaux quadrilado: dp *

tères diffèrent peu de celle qui correspond au point A^

la formule (3) est donc applicable au quadrilatère

ABAfBo et Ton a

et, par conséquent,

en se dispensant d'écrire les limites. Si Ton veut commencer rintégration par rapport à |3, il faudra prendre pour limites les valeurs [3o et B qui répondent aux points où la courbe u = a rencontre le contour; on intégrera ensuite par rapport à a enti*e les valeurs a^, A relatives à celles des courbes a qui limitent le contour. Ainsi Ton aura

La formule précédente se simpliGe lorsque les deux familles de courbes employées forment un système double orthogonal. On a effectivement sini = i, dans ce cas.

599. Considérons maintenant une portion S'de surface courbe limitée par un contour G. Divisons l'aire S' en parties infiniment petites dans tous les sens au moyen