CHAPITRE VIII
Soi
Celte équation se décompose en deux autres, et, si entre celles-ci on élimine l'angle ç, on obtiendra l'intégrale générale demandée, qui renfermera les trois arbitraires a, x©, j^o-
Posons
puis
X — ^ç=:=pcos(w-;-/x), y — 7-o = |9SÎn(« -♦- |*);
p el tù seront des coordonnées polaires, et l'équation précédente deviendra
d'où
p = me*?, w =: ©, et par conséquent
Ainsi la spirale logarithmique est la seule courbe qui possède la propriété en question.
La solution précédente fournit un exemple des simplifications que peuvent comporter les problèmes du genre de celui que nous venons de traiter.
716. ProblIeme VII. — Trouuer la courbe plane dans laquelle le rayon de courbure est proportionnel au rayon vecteur issu d'un point ^xe.
Considérant la courbe inconnue comme l'enveloppe
de ses tangentes, nous emploierons (n^ 210) les deux
équations
xs\nf--jrco$f=/ (y),
qui permettent d'exprimer les coordonnées rectangulaires x^y en fonction des variables <f et/(f). On tire
5oa CALCUL IirTÉGBÀL.
de ces équations d'où
puis
et
^" [/{?) +/*'(?)] ces y ^y,
Le rayon de courbure étant égal à ~ et le rayon vecteur à sl^C'-^j^y Téquatîon du problème sera
m étant un nombre donné. Comme elle ne renferme pas f , nous poserons
et il viendra
Celte éqnadon du premier ordre s'intègre immédiatement, car on peut lui donner la forme
M^fdf
— -^^mrlf;
le premier membre est la difTérentielle exacte de ^f'^-hf'^y et l'intégration donne
G étant une constante arbitraire. Commey*'= y- > on a
GHÀPIT&B VIII. 5o3
ensuite
Si l'on a m <C I • Tintégration donnera ,
^i — m* \ mi. I
(Pa étant une constante. On tire de là, en faisant 1 = a,
/(y) ~ — ay^i — fx» -i- a sinf*(y — 9»o).
ce qui montre que la courbe demandée est algébrique quand jx est commensurable.
Si Ton a /w ^ 1 , l'intégration de la différentielle rfcp donnera
? — ?o = -7 ' - log(r -^ v'^'-ij » V w* — I
t désignant la quantité — —/ — m, et cpo étant la con-
mC
stante ; on tire de là, en faisant — ^ =a, Jm^ — 1 =M»
/{f]=a\Ji-\-i»}-\-a
e'Mf-?t) -^ e^(f-%)
Enfin, dans le cas de m = i , on a d'où l'on tire, en posant - = a,
5o4 CALCUL IHTÉGUÀL.
Usage d'un /acteur pour l* intégration des équations dijfférentielles d'ordre quelconque.
717. Considérons une équation différentielle d'ordre ti entre les variables x et y y et supposons qu'on l'ait mise sous la forme
P et Q étant des fonctions de j?, r, —^ • • • > -; — ~ • On peut écrire
et s'il arrive que le premier membre de cette équation
soit la différentielle exacte d'une fonction u de Xj y^
dr d'^^^r
- 9 • • • » i-^zi^ il est évident que l'équation
UJC €uJt
U = const.
sera l'une des intégrales premières de la proposée.
Quelles que soient les fonctions P et Q, il existe toujours des facteurs X propres à rendre le premier membre
de l'équation (2) la différenlielle exacte d'une fonction
dy d*^ — * Y
dex. Y y -Y"» • • • > ,— ITT • En effet, considérons l'une des
intégrales premières de l'équation (a), et soit
cette intégrale résolue par rapport à la constante qu'elle renferme. Différentions-la et écrivons, pour abréger, y ^'^
au lieu de -7^; on aura dx^
du du , du „ ^ du , .
dx dx ày dr^»-*) •^
et la valeur dej^^"^ tirée de celte équation coïncidera
CHÀPITEB YI1I. 5o5
avec celle qni est donnée par la proposée, savoir
Qh-P^(/i)=:o; on a donc
d'où, en désignant par X la valeur commune de ces rapports,
du du . du „^,, ^^
Il résulte de là que l'expression
est une différentielle exacte du.
On peut établir, par un raisonnement analogue à celui du n® 683, que la solution particulière de Téquation
proposée doit satisfaire à Féquation - = o ; nous nous
bornons à indiquer cette proposition, que nous ne croyons pas utile de développer ici.
La recherche des facteurs dont il vient d^étre question présente en général des difficultés insurmontables ; il y a cependant des cas où Ton parvient facilement à les découvrir. Nous allons en présenter un exemple, qui est un de ceux qu*EuIer a considérés.
718. L'équation dont nous allons nous occuper est la suivante :
En examinant sa forme, on voit qu'il y a lieu de chercher s'il n'existerait pas un facteur tel que [ tiXi -^ + 2X^ j dx
So6
CALCUL INTÉGBÀL.
propre à rendre son premier membre la difTérentielle exacte d'une fonction a de j:, r, ■—• Si une telle fonc-
tion u existe, la partie — 3~^ "î ^^ sa différentielle to-
dx taie aura pour valeur
dx
et Ton aura, en conséquencCi
u étant une fonction des seules variables x et jr. En égalant à zéro la différentielle duj on a
dx
djy
dX, dr ,„ t
ax ax (tx
et, pour que cette équation coïncide avec la proposée, il faut que Ton ait
rfU —
rtfX,
dx
La première partie de cette valeur de efU deviendra une différentielle exacte si Ton pose
Xi = 7 -+- 2<îx -h fx*, I ^Xj
2 dlr
ex.
et il arrive alors que la partie restante est elle-même
