I . ât

x= -, dx = -:

elle devient effectivement, par cette substitution,

Enfin, si Ton pose (n^ 654)

zz=Luty dz = udt-\- tdu,

elle prendra la forme

dt udu

t «' — a* -f- 2 ou

dt i du I f tt — i]du 3 du

T "' 5 «4-7 """ 5 [u — i)«-f-i ~ 5 (« — !)• H-i "^ ^' intégrant, et remettant - au lieu de t, zx au lieu de u, il

vient

, I , .rz 4- I 3 , ,

-logar-h ^ log ---r: -- ^ arclang( z — i)

La valeur de z étant définie par cette équation, l'intégrale générale demandée sera

zdx

elle renferme les deux constantes arbitraires x^ et C.

715. Problème VI. — Tr ouvrer la courbe plane dont les arcs sont proportionnels aux arcs correspondants de la développée.

Désignons par s Tare de la courbe inconnue compté à partir d'un point fixe de cette courbe, par s^ l'arc correspondant de la développée, par a une constante

5oO CALCUL INTÉGRAL.

donnée ; l'équation du problème proposé sera

Si = OLS ou ds^ = a ds^

ou, comme dst est égale à la difTérentielle du rayon de courbure R de la courbe demandée ,

Si l'on introduit les coordonnées rectangulaires x, y y cette équation sera de troisième ordre, et, par conséquent, rintégration amènera trois constantes arbitraires. On eflectue facilement cette intégration en opérant comme il suit.

Soit f rinclinaison de la tangente de la courbe cherchée sur Taxe des x ; on aura

et notre équation difTérentielle deviendra

l'intégration donne

logR — loga = ay ou R = /ic*?,

a étant une constante arbitraire. On a donc aussi

ds :^ ac^^ c/y,

dx = a^ cosy rfy, dy -=. ae^^ sin f df.

Ajoutons ces équations; après avoir multiplié la seconde par ^ — I , il viendra

d{x'\-X V^^j = ae^*+\^^^T df.

(x-Xo)-f-(/~^o)v^~= ^—=e^*^^i\