Soit

une équation différentielle d'un ordre quelconque n entre les deux variables x et y. En la différentiant, on obtiendra une équation d'ordre n -\- 1

et Ton pourra former ensuite diverses combinaisons des équations (i) et (a). Soit «

l'équation d'ordre n-hi qui résulte de l'une de ces combinaisons. Si l'on peut trouver une intégrale première

5o8 CALCUL intéguàl.

de réquatîon (3) distincte de la proposée^ on connaîtra aussi une intégrale première de cette dernière ; car, si

est une intégrale première de Téquation (3), et que l'élimination de — ^ entre les équations (i) et (4) donne pour résultat

cette équation (5), qui est de l'ordre n — i et qui renferme une constante arbitraire, sera évidemment une intégrale première de l'équation (i).

Si l'équation (i) est du premier ordre, l'équation (5) fera connaître son intégrale générale.

720. Exemple. — Pour donner un exemple de cette méthode d'intégration, proposons-nous de trouver les lignes de courbure d'une surface du deuxième ordre à centre. L'équation de cette surface étant

si l'on pose

l'équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan xy sera (n° 341 )

(•) Axr(^y + (x«-A/'-B)g-xr = o.

On a, par la différentiation de cette équation,