CHAPITRE VIII

et l'élimination de x^ — Aj^ — B entre les équations (i) et (21) donne, après la suppression du facteur A -^ -!- 1 commun à tous les termes,

dy

Si Ton divise cette équation par xy — » elle devient

é^r dy dx^ dx I

dy y X d^

les variables sont séparées, et Ton a, par l'intégration,

dy log ^ -+- ^ogX — logo: = logC

ou

dy

G étant une constante. L'élimination de -;- entre les

dx

équations (i) et (4) donne

(5) ^« cx' -h ^- = o,

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus précédemment par d'autres méthodes (n^ 338 et 650).

Solution d'un problème qui exige l'intégration d'un système d' équations différentielles simultanées.

721. Nous avons vu que l'intégration d'un système d'équations différentielles simultanées d'ordres quelconques se ramène toujours, par l'élimination, à l'intégration d'une ou de plusieurs équations qui ne renferment chacune que deux variables^ mais une telle réduction n'est pas toujours de nature à simplifier le

5lO CA.LCUL INTÉGRAL. .

problème qu'il s'agit de résoudre. En l'absence de toute méthode générale d'intégration, il ne sera pas inutile de présenter ici un exemple particulier , que nous empruntons à la Géométrie.

Problème. — Trouver les trajectoires orthogonales d'un plan mobile.

Soient Xy y^ z trois coordonnées rectangulaires, et

(l) j: cosa -{- jcosê -:- 5COS7 — «--G

l'équation du plan mobile ; la distance u de ce plan à l'origine et les angles a, 6, y qu'elle forme avec les axes sont des fonctions données d'un paramètre t. Les trajectoires demandées devant être perpendiculaires au plan, les équations différentielles du problème sont

- . dx dr dz

* ' cosa cos6 cosy'

on peut concevoir que l'on ait tiré de l'équation (i) la valeur de t en fonction de x, y^ z, et les cosinus des angles a, 6, y doivent être regardés dans les équations (2) comme des fonctions données des variables x, j, z. Pour intégrer ces équations (2), je ferai usage des formules que j'ai établies au n** 274, et je conserverai les notations de ce numéro. Ainsi, les angles a, 6, y étant évidemment ceux que forme, avec les directions des axes, la tangente de la courbe cherchée, je désignerai par Ç, », X^ et par A, jui, v les angles formés avec les mêmes axes par la normale principale et par l'axe du plan osculateur de la courbe; en outre, da, dx désigneront les angles de contingence et de torsion, ds la différentielle de l'arc de courbe, en sorte que l'on aura

d<T -^ \/(r/cosa)* -h [dcos^]^ -h (^cosy)'.