CHAPITRE ix. 5a

tion de l'équation ( 2) exige seulement Tintégration d'une équation linéaire d'ordre n — /, lorsque Ton connaît * intégrales particulières de Téquation (3).

Supposons que Ton connaisse une intégrale particulière j'i de l'équation (3); on aura une intégrale plus générale en posant

(4) r^Qri,

C| étant une arbitraire, et, si l'on regarde C| comme variable, Téquation (4) pourra représenter l'intégrale générale de l'équation ( 2 ) ; ce n'est ici que le même changement de variables déjà pratiqué au n° 726. L'équation (4) donne, par la différentiation (n** 64),

rix - *^' dx ^•^' dx '

et, comme ^{y\) est nul par hypothèse, la substitution des valeurs (4) et (5) dans l'équation (a) donnera un résultat de la forme

^^ dx" ' dx''-^ ^ dx *'

Pi, ..., T| et V| étant des fonctions connues de x. L'équation (6), d'où Ton doit tirer la valeur de C^ est linéaire et d'ordre />; mais, comme elle ne renferme que les dérivées de C| et non cette fonction elle-même, on l'abaissera à l'ordre n — i en posant

5a6 CALCUL UVTéGRAl..

elle devient alors

Si Ton peut trouver Tin tégrale générale de Téquation (8), on aura, par l'équation (7), en désignant par C| une constante arbitraire.

Cl --^ c^-i- 1 udx;

enfin l'équation (4) donnera

qui sera l'intégrale générale de l'équation proposée (2).

Ainsi la connaissance d'une intégrale particulière de

l'équation (3) permet d'abaisser d'une unité l'ordre de

l'équation (2), sans que la forme linéaire soit sacrifiée.