CHAPITRE IX

et, puisque ^a, ^8 > • • • > J^i-i sont des solutions de cette équation (3), l'équation (ii) sera satisfaite par l'une quelconque des valeurs suivantes de u :

ri ri ri

dx cLx dx

Ainsi Ton peut appliquer à Téquation (lo) tout ce que nous avons dit de l'équation (a); on ramènera la recherche de son intégrale à celle d*une équation linéaire d'ordre n — a telle, que l'équation correspondante sans second membre admettra i — a intégrales particulières connues. Et, en poursuivant de la même manière, on formera une équation linéaire d'ordre n — i, dont il suffira de connaître l'intégrale générale pour obtenir celle de la proposée.

731. Remàrqves. — La connaissance d'une intégrale particulière^! de l'équation (a) ramène, comme on l'a vu, l'intégration de cette équation à celle de l'équation (3); en d'autres termes, elle donne le moyen de faire disparaître le second membre, mais non d'abaisser l'ordre de l'équation. U en résulte que, si l'on connaît i intégrales particulières de la même équation (a), on pourra faire disparaître le second membre et abaisser en outre de i — i unités l'ordre de l'équation; car, l'intégrale y^ ayant été employée pour l'évanouissement du second membre, on connaîtra i — i intégrales y^ — y^^ y% — ^1, . . . , yi — y\ de l'équation transformée.

Si le rapport de V à U est constant, on a une solution

de l'équation (a) en posant^ =i= -^ cette équation est

donc immédiatement ramenée à l'équation (3).

Enfin on voit par les développements qui précèdent que les équations linéaires n'admettent pas de solutions

5a8 CALCUL INTÉGRAL.

parliculières, sans qu'il soit nécessaire, pour cet objet» de recourir à la théorie générale de ces solutions. Nous avons vu efTectivement que, si y^ désigne une solution de l'équation <I>(j^) = o, on peut mettre l'intégrale générale de cette équation sous la forme

jx est donc une intégrale particulière. De même, si y^ désigne une solution de 4>(j^)= V, l'intégrale générale de cette équation sera de la forme

y =Xo -I- Cl 7i -I- ... -1- CnX„9

en sorte que y^ est encore une intégrale particulière.

jiutre manière <ï effectuer la réduction d'une équation linéaire à une équation linéaire d^ ordre inférieur,

732. La réduction dont nous nous sommes occupé au n° 730 peut être effectuée d'une autre manière ; c'est ce que nous allons montrer ici, afin de donner un nouvel exemple de la méthode de la variation des arbitraires

Reprenons l'équation linéaire d'ordre n

et supposons que l'on connaisse i intégrales particulières de l'équation sans second membre

On aura une intégrale particulière plus étendue de l'équation (2) en posant

{ 3 ) j r:z cn -*- c,rj H- . . . -i- Qr,-,

C|, Cj, ... ., G/ étant des constantes arbitraires, et si l'on regarde ces arbitraires comme des variables, fonctions