CHAPITRE IX

de Xy Téquation (3) sera susceptible de représenter Tintégrale générale de Téquation (i) ; on pourra même établir entre les arbitraires i — i relations choisies à volonté. Procédant ici comme au n** 727, nous choisirons les relations dont il s'agit de telle manière que les i — i premières dérivées de y aient les mêmes expressions dans rhypothèse des arbitraires variables que dans celle des arbitraires constantes. Ainsi nous poserons

rfCt dCm fiCi

^n fiCi dxt dC^ dYi dCf

{A\ ' d.jc dx dx djc dx dx

<£r'~' dx iLi^^^ dx * * ' dx'^\ dx

et Ton aura

y = C,7i H- C,.rt 4- ... -4- C/7/,

^=G — -hC, ^-+-...-4-C,-^, £Ù: dr dx * * ' r/j:

Posons, en outre,

(6) ' dx^ dx dx^ dr '*' dx* dx

d^'^Xi dC, d^"'r, dC^ ,d^\ridC,^

\ dr»-^ dx "*" i/«»-^ dx ' dx'*-^ dx ■ """

S.- Cale. ifU. U

53o CALCUL IIVTÉGRAL.

el faisons aussi, pour abréger récriture,

dz

Zi — - - -h 3i,

dx

In] (z-fj + '!^'

on aura, en différentiant la dernière des équations (5), el répétant cette diffcrentiation jusqu'à celle de Tordre n — i-h I ,

dx* dj

f/" r rf" r, rf" r, rf" > ,

Substituons maintenant, dans Téquation (i), les valeurs dej^' et de ses n premières dérivées tirées des formules (5)eti8);on aura, en remarquant que 7^,, j^'a, ..., yi sont des intégrales particulières de Téquation a),

( 9 ; z„,- H- pz„^i + . . . H- sz := V.

Mais le système composé des équations (4 j et de la première équation (6) détermine pour

dCi dC^ dCi

dx dx dx

des valeurs de la forme