CHAPITRE IX

on aura

dt

Remplaçons Xn par sa valeur tirée de la formule (2), et profitons ensuite de Tindétermination des facteurs %, pour faire disparaître les variables JTi, X2, •.., x«.i, Téquation précédente se réduira à la suivante,

et l'on aura, pour déterminer les facteurs 1, lesw — i équations

L'équation ( 5 ) est linéaire, et Ton en tire

(7) r = ^ •"'. \c-^./..^''- X?Ja:/,

C étant une constante arbitraire.

Les n — I équations (6) ne sont pas linéaires; mais il suffit, pour notre objet, de connaître n systèmes de valeurs des quantités X|, X^, •.., X/t.|, satisfaisant à ces équations. Effectivement, désignons généralement par

l'un quelconque des n systèmes dont nous venons de

S. — Cale* int. 36

parler, rindîce supérieur / variant de i à ti. Désignons aussi par t^^^ la valeur de t que donne l'équation (7), lorsqu'on attribue aux facteurs X les valeurs }M^ et que Ton écrit C| au lieu de C, on aura les n intégrales suivantes des équations différentielles proposées :

De ces équations (8) on tire, pour Xi^Xa, ..., x^j des valeurs de la forme

les coefficients T étant des fonctions des X.

Soient X| la valeur que prend Xi quand on donne la valeur zéro aux constantes Co C2, . . ., G,,; z,- la valeur que prend la même fonction Xi quand on suppose nuls les seconds membres Vi, V2, .-., V» des équations proposées; il est évident que les équations (9) deviendront

ce qui exprime la proposition suivante :

Les valeurs de x^, x^y . . . , j:„ qui constituent le sys^ tente intégral du système différentiel ( 1 ) peuvent être obtenues en ajoutant les valeurs Xj, X2, . . ., X^, qui constituent une première solution sans constantes arbitraires, aux valeurs respectives de X\j 0:2, . . ., Xny qui