CHAPITRE IX
on tirera des équations précédentes
y =z log [x -h jr -h z -}- n] -h arc tang :
ces équations, où a, (3, y désignent trois constantes arbitraires, représentent les trois intégrales du système proposé.
Méthode de et Alemhert pour ramener aux équations à deux variables les systèmes d' équations linéaires du premier ordre,
748. On doit à d'Alembert une méthode remarquable pour ramener à des équations du premier ordre, à deux variables, un système quelconque d'équations différentielles linéaires simultanées. Nous supposerons que les équations du système proposé aient été réduites au premier ordre, en introduisant, s'il est nécessaire, de nouvelles variables, comme nous l'avons expliqué au n® 615.
Cas de deux équations. — Soient les équations linéaires
dans lesquelles P, Q, V, F, Q', V sont des fonctions, données de la variable indépendante x. En ajoutant ces équations après avoir multiplié la seconde par un facteur indéterminé X, on a
DésigQons par t une nouvelle variable, et posons- (3) jr-+->z = /,
d'où
dy dz dk __ dt
dx djc dx dx
Si l'on remplace, dans Téqualion (a), j^ et -j- par leurs valeurs tirées des formules (3) et (4), il viendra
^^+(P+>P')'-'[^H-(P+iP')>-(Q+^Q')]=v+xv'.
On peut disposer du facteur indéterminé X, de manière que z disparaisse de cette équation, c'est-à-dire de manière que Ton ait
et l'équation en t devient alors
L'équation (6) est linéaire, et l'on en tirp, par l'intégration,
- Ç (P+iP')dx I /
ou, pour abréger,
(8) rzz=F(x,>,C),
C étant une constante arbitraire.
L'équation (5), dont dépend X, n'est pas linéaire, mais il n'est pas nécessaire d'avoir son intégrale générale; deux valeurs particulières X, , Xj suffisent. Effectivement, les valeurs de t qui répondent à ces valeurs de X sont
CHAPITBtE IX. 557
y-f- li^,^ 4- Xas; réquation (8) donnera donc, en écrivant successivement d , Gt au lieu de G,
Chacune des équations (10) est une intégrale du système
proposé.
«• lk9. La méthode de d'Alembert fait connaître les
intégrales des équations différentielles linéaires, lorsque
les coefficients sont constants.
En eflét, supposons P, Q, P', Q' constants. Si les
racines de Téquation
sont inégales, et qu'on les désigne par X4 , X2, on aura les deux solutions demandées de Téquation (5) en posant successivement
on a ici
et les équations (9) deviendront
Lorsque Q est nul, Tune des racines X|, X2 est nulle ; dans ce cas, Tune des équations (11) est l'intégrale de la première des équations proposées, laquelle ne renferme pas z. Lorsque P= o, l'une des racines de l'équation (10) est infinie ; ce cas est analogue à celui de Q = o ; la
558 CALCUL IMTÉCRÂI..
deuxième des équations proposées ne renferme pasj)% et elle détermine z en fonction Ae x\ y est donné ensuite par rintégration de la première équation.
Si les deux, racines de Téquation (lo) sont égales entre elles, soit X| leur valeur; Téqualion (5) aura la forme
+ p'(X>.).=-o ou ^^^ + p'^ = o,
et Ton en tire, par Tintégration,
' ^V'x^G, d'où X — X,=:--. ^
G étant une constante arbitraire. Il suflira de donnera G deux valeurs particulières pour avoir les deux valeurs de X qui nous sont nécessaires ; en faisant G = oo , puis G = o, on a
et les valeurs correspondantes de e '* sont
-(P-I->,P)t 1 -(Ph.>,p')x
7S0. Il faut remarquer que les formules relatives au cas particulier de ^2 = X| peuvent être tirées facilement des formules (i i), qui se rapportent au cas général. Effectivement, l'égalité des racines X cessera d*avoirlieu si Ton modifie convenablement les coefficients ; il suffira de
multiplier cette équation par — .— ^-r — -. rien n'empêche
d'admettre que P et 1^ ne sont pas changés, et que la modification porte seulement sur les coefficients Q et Q', qui ne figurent pas dans nos formules. Cela étant, les
CHA.P1T11B IX. 55g
intégrales (i i) pourronl être représentées par
j H- (>, 4- h)z = F{x, >i 4- A, C, 4- ACa),
en écrivant Ci H- ACa au lieu de Ca* La seconde équation peut être remplacée par
F(jr, X, -f./i, C, H-//Cj) — F(jr, >„ Cl) "^ ^ >
et, à la limite, pour h= o, elle se réduit à
ÔF ^ dF
'=dx;-^^- Je;'
751. Exemple. — On demande d'intégrer les deux équations simultanées déjà considérées au n^ lh& :
dr ^ dz
ojc ax
£n appliquant la méthode de d'Alemberi, on a
dt , ^ - .
-4-(3-X). = o et
On tire de là
d'où
-^Xz=z{j^ OU À=I-h •
On peut donc faire ici
À| "zn I , Ag = I — — «
Soient fo ^3 ^^^ valeurs de £ qui répondent à ces valeurs
56o CALCUL INTÉGRAL.
de X, on aura
d'où
jr-^z — Cie-*', 7-1-3 = C,
752. Cas d'un nombre quelconque d'équations. — La méthode de d' Alembert est applicable à un système quelconque d'équations différentielles linéaires.
Soient les n équations linéaires du premier ordre
dr
i + pm^, + P',-x. + ... + ?!.•'*„ = V„
dr •••••••••••'••• • 1
dans lesquelles les coeflicients P|'^ et les seconds membres Vy sont des fonctions données de la variable indépendante X, Ajoutons ces équations après les avoir multipliées respectivement par les facteurs indéterminés
^i> ^1 * • • • » ^/i— 1» ' î faisons ensuite
puis
\ Pi." + >. p*," + . . . + X,-. p'r " + PI."' = ^»
et
(4) iiVi + x,v,-i-...+x,,v,,+v„ = '<?,
