IC

Pi">. + (P',"-p) X, +. . . + Pr"Vi+ P',"' = o,

L'élimination de Xf, X2, ..., X^^^ entre ces équations conduit à une équation finale

(II) F(p) = o

du degré n par rapport à p, et dont le premier membre n'est autre chose que le déterminant

pn)-p p(ii ... p(«-i) p(«)

pU)

p{n-l) p(«) rt

A chaque racine p de l'équation (11) répondent des valeurs déterminées de li, ^2» •••> ^«-1 fournies par n — i desn équations (10). Si donc les racines de l'équation (11) sont inégales, on connaîtra par ce moyen les systèmes de iacteurs X qui nous sont nécessaires ; la for-

564 CALCUL INTÉGnÂL.

mule (7), qui détermine les seconds membres des in té-* craies (8j, devient ici

Lorsque l'équation (n) a des racines égales, la méthode précédente ne donne pas n intégrales distinctes; mais on peut employer, pour compléter le nombre des intégrales, un procédé analogue à celui dont nous avons fait usage dans le cas de deux équations.

Intégration d'un système d'équations pourvues de seconds membres^ dans le cas ou l'on connaît les intégrales des mêmes équations privées de seconds membres,

7o i. Les propriétés établies aux n*" 723 et suivants à regard des équations linéaires à deux variables sans seconds membres s'étendent d'elles-mêmes aux systèmes formés d'un nombre quelconque d'équations. En outre, quand on connaît les intégrales d'un système d'équations linéaires sans seconds membres, il est facile d'en conclure les intégrales des mêmes équations différentielles pourvues de seconds membres, soit par la méthode de Gauchy (n° 728), soit parla méthode de la variation des arbitraires. Nous ferons usage de cette dernière méthode»

Considérons, comme au n^ 7o2, les n équations

^ + p(«>x, + P',«'x, H- . . . H- P|.'>x, = V., (l) ' cLc

CHÀPiTRB IX. 565

et supposons que Ton eonnaisse n systèmes d^intégrales particulières relatives au cas où les seconds membres

sont nuls, savoir

il est évident qu'on satisfera aux mêmes équations sans seconds membres en posant

.r^= Cl x^ -t- G|X„ -f- . . . 4- C,j.r^ ,

et, si Ton regarde les arbitraires C comme variables, on pourra considérer les équations (2) comme représentant les intégrales du système (1)5 celte manière de procéder n'est autre chose qu'un changement de variables, comme nous l'avons déjà remarqué.

La substitution des valeurs (a) de OTt, 0:2* •••> ^n dans les équations (i) donnera, après les réductions qui résultent de notre hypothèse,

(3) ; * dx^""^ r/u:^"-^'^* 7Z7-"^''

Ces équations donneront pour -j^» -^j ••• des valeurs déterminées tant que les équations (2) seront;

566 CALCUL uïtégual.

dans rhypothèse des arbitraires constantes^ les inté-* grales générales des équations (i) privées de leurs seconds membres. On aura donc

X|, X2, ...i X;, étant des fonctions connues de x. On tire de là

Cl = r, H- / Xj r?x,

Co C3, . ..y C|2 étant des constantes arbitraires.

Autre méthode pour la recherche des intégrales dans le cas des coefficients constants,

755. Au lieu d'employer la méthode de d'Alembert, dans le cas des coefficients constants, on peut procéder à rintégration en appliquant le procédé qui nous a déjà servi dans le cas d'une équation linéaire à deux variables.

Soient les n équations sans seconds membres

tir

— ^ H- Pi'^'xj -f. Pi^'x, -h ... -4- Pii'^r^ = o,

ClJP

dans lesquelles les coeflicients P sont constants. Posons (2) xi = >., ci'y X, = >i tf~^, .... x^i = ).^i ff^p*, X;j = e^**.