CHAPITRE IX

et substituons ces valeurs dans les équations (i); on aura, après la suppression du facteur e^^j

l (P<" - f) X, + Pi"X. -t- . . . -i- P^ ,>,-. - P|." = o,

Ces équations sont de même forme que les équations (10) du n° 753, et elles conduisent à la môme équation en p du degré n, par l'élimination des indéterminées ^0 ^2, ... ; à chaque racine p de cette équation

répondront en général des valeurs déterminées de X|,

Aj • • • • j ^n^^i •

Si l'équation (4) a /2 racines distinctes, on formera de cette manière n systèmes d'intégrales particulières au moyen des équations (2). Soient

Pif Pii • • •» p»

les n racines p,

les valeurs correspondantes de X/ et

Cil Cj, • • • , C;|

ra constantes arbitraires; les intégrales du système proposé seront

or, — Ci>\»'c-fi'H- C^\\^^e'9f' -»-... -f- C«).\"'e-?-', »

Il serait aisé de trouver, dans chaque cas, les modilica-

568 CALCUL INTÉGnAL.

lions que doivent subir ces formules lorsque quelquesunes des racines p deviennent égales entre elles ; ce que nous avons dit au n° 750 nous paraît suffisant, et nous n'insisterons pas davantage sur ce point.

Sur une classe d'équations différentielles linéaires.

756. Nous croyons devoir faire connaître, en terminant ce Chapitre^ un résultat remarquable obtenu par Jacobi, et qui se rapporte à la théorie qui nous occupe.

Considérons un système de n équations difierentielles quelconques entre une variable indépendante xei n variables dépendantes Xi, X29 • • m ^n* Représentons par

x'i la dérivée — ' et par

(i) F, =ro, Fj^O, .,., F„=o

les équations diflérentielles proposées F|, Fj, ••., F^ sont des fonctions quelconques de Xy de Xi, X2, . . ., X/, et des dérivées x\j x\y . . ., x'„.

Supposons que Ton connaisse les intégrales générales du système (i) et que ces intégrales soient résolues par rapport à Xty X2, . . . , X;, ; représentons-les par

X|, X2, ..., X;, étant des fonctions de a: et de n constantes arbitraires a^ a2, . . ., an»

Si Ton porte les valeurs (2) dans les équations (i), celles-ci deviendront identiques, et l'on en conclura de nouvelles identités par la différentiation relative aux arbitraires. DifTéren lions, par exemple, Téqualion