CHAPITRE X

velle. La diiTérentiatîon donne

tir dz .

dx dx ^ '

d[^ Y d^ z dz

Portant ces valeurs dans Téquation (i) et divisant ensuite par x^y il vient

dx^ X dx L *'^* J

Cette équation aura la même forme que la proposée si l'on fait

la transformée devient, en effet, , , d?^z afi — n\ dz

et elle se déduit de Téquation ( i) en changeant ti en i — n et en écrivant z au lieu de ^ ; on ramène ainsi le cas de n négatif à celui de n positif. Il est évident, d'après cela, qu'on obtiendra une nouvelle intégrale particulière de l'équation (i) en changeant /z en i — n dans celle qui a été obtenue au numéro précédent et en multipliant ensuite par jc*'"-''.

Avec les deux intégrales particulières, on formera l'intégrale générale de la proposée, déjà obtenue dans le cas où a 72 est un entier pair négatif, savoir

L 2(i — in] 2.4^3 — 2/«jp — 2//J J

C et Çl étant deux constantes arbitraires. Toutefoisi il

576 CALCUL INTÉGUAL.

faut excepter le cas où 2/2 est un entier impair positif ou négatif. Si l'on a stz = i, les deux intégrales particulières coïncident entre elles, et si an est un entier împair autre que -I- 1 , Tune des deux intégrales devient illusoire. Nous reviendrons plus loin sur ce cas d'exception.

761. Il convient de remarquer le cas de n = i; on détermine aisément les sommes des deux séries qui expriment les intégrales particulières. Dans le cas dont il s'agit, la formule (3) devient, en écrivant Cm au lieu de C^

C f mx m^a^ m^x^ \

jr= - ( 1 T H 0-7-F -H...)

yz=L 1 ;