CHAPITRE X. SjJ

Si m* est négatif et que Ton fasse m^ = — fx^, l'intégrale de la proposée devra être écrite sous la forme

Csinu.r -4- Ccostix

Emploi de la méthode des coej^icients indéterminés.

762. Au lieu de faire usage de la formule de Maclaurin, on peut employer avec avantage la méthode des coefficients indéterminés, qui comporte une généralité plus grande.

Reprenons l'équation

que nous avons déjà considérée, et essayons d'y satisfaire en posant

^9 ^1 y y 9, . . . étant des exposants croissants. On tire de la formule (2)

tlx

En portant ces valeurs dans l'équation (i), il vient

A[a(a -4- 2/1 — i).r*^«— rn^jc!^] -h B[€(e -f- a/i — i)x«-«— m»x«]H- . . . = o,

ce qui doit se réduire à une identité. Le plus petit exposant de X dans cette formule est a — a, et pour que le terme de ce degré disparaisse il faut que l'on ait

azz^o ou a = i — in»

S. — Cale. int. 87

Parmi les termes qui restent, ceux qui ont le moindre degré sont ceux qui contiennent les facteurs x*, x*""'. On ne peut avoir 6 — 2]> «, car il faudrait que l'on eût A= o, hypothèse à rejeter. Donc on a

6 — 2 = a ou 6 — 2<^a.

Si Ton admet la seconde hypothèse, il faudra que Ton ait

6( 6 H- 2/î — t) = o, c'est-à-dire

6 = 0 ou € = l — 2/î.

Cela n'est admissible que si l'on a pris pour a la plus petite des deux valeurs o, i — 2/1; alors on peut prendre pour 6 la plus grande des deux mêmes valeurs. Mais, si Ton a choisi pour a la plus grande des valeurs 0,1 — 2/1, il faudra faire 6 = a H- 2.

. Supposons que a et 6 aient reçu les valeurs o et i — 2 w ; comme y ne peut avoir l'une de ces valeurs, il faudra que Ton ait y =r a -f- 2, puis J = 6 4- 2, et ainsi de suite. Ces exposants étant connus, on déterminera immédiatement les coefficients.

Mais il est plus simple d'employer successivement les valeurs a = o, a =.1 — 2/1, et de supposer

Ainsi l'on fera' d'abord

ce = o, 6 = 2, 7 = 4> ^ = 6, • . . ,

et, en écrivant que les termes du même degré en x dlsparaissent; on trouvera

2',2/i-hi) 4^2/1-1-3) 6(2/1 -h 5)