CHAPITRE X

Faisant ensuite

a r= 1 — 2/ï, 6 = 3 — iny 7 = 5 — 2», •••« et opérant de la même manière, on aura

Donc, en supposant dans l'un et l'autre cas A= i, on a ces deux intégrales particulières

d'où l'on conclut l'intégrale générale déjà obtenue au n«> 760,

en exceptant toutefois le cas où an est un entier impair positif ou négatif.

763. Il nous faut examiner ici ce cas particulier où 272 est un entier impair. Comme l'hypothèse de n négatif se ramène à celle de n positif, ainsi qu'on l'a vu plus haut, nous supposerons

V étant un entier nul ou positif. L'équation proposée devient alors

et nous n'en connaissons qu^une intégrale particulière, savoir

58o GÀLGTIL INTÉGRAL.

Si Ton emploie cette valeur dej^i, l'intégrale générale de Téquation proposée sera représentée (n° 733) par

^ïv-Hl

C, G étant deux constantes arbitraires et Xq une valeur initiale quelconque de x. En opérant sur la fonction

^ ,^^^ comme s'il s'agissait d'une fraction rationnelle, on pourra lui donner la forme

an ai av->, Y

Y étant une fonction qui reste finie pourx = o. Par suite, on aura

jr^x^'^' x/

P désignant un polynôme du degré av, G une constante etV une fonction qui reste finie pour a: = o. Il résulte de là que l'équation proposée a nécessairement une intégrale de la forme

r = ri(^v -+-Glog«j-4-2,

z étant une fonction qui reste finie pour x = o. Il est donc naturel d'employer la substitution qu'exprime la formule précédente et d'appliquer la formule de Maclaurin ou celle des coefficients indéterminés à l'équation transformée en z ; celle-ci ne différera de la proposée que par un second membre introduit par la substitution.

764. Nous nous bornerons à développer le calcul du cas le plus simple, celui de y = o. L'équation proposée est alors