CHAPITRE XI

retranchant ces équations Tune de l'antre et remarquant

dp dq ., .

que -^ = Y^ " vient

OU, en éliminant /7 et if par le moyen des équations (2),

telle est la condition que remplissent nécessairement les fonctions P, Q, R lorsque l'équatîon (i) est intégrable. Il reste à prouver que cette condition est suffisante ; c'est ce que nous allons faire, en procédant directement à la recherche des solutions que l'équation (i) peut admettre.

785. Désignons par |x un facteur propre à rendre l'expression Qû[j^-+-Rrfz différentielle exacte d'une fonction u des variables j^ et z ; le facteur fji et la fonction u dépendront généralement de x. Posons, en conséquence, / / V • r^ au ^ au

et faisons, en outre,

X désignant une certaine fonction de x, y^ z. L'équation (i), multipliée par jui, deviendra

fàu --\ . du , du .

ou

(6) </wH-Xd:r = o.

U étant fonction de x^j^ z, on peut regarder z comme fonction de Xjj^ u, et alors X deviendra fonction des

6l8 CALCUL INTÉGUAL.

mêmes variables. Mais, puisque les différentielles du, dx figurent seules dans l'équation (6), u ne dépend que de x; donc il faut, pour la possibilité du problème, que X ne contienne pas y et soit fonction des seules variables x et u. Lorsque cette condition est remplie, il existe un facteur, fonction de x et de a, qui rend différenti^lle exacte le premier membre de Téquation (6); si Ton désigne par - un tel facteur, il est évident que X sera un

facteur propre à rendre une différentielle exacte le premier membre de Téquation proposée. On a ainsi ce théorème :

Lorsque l'équation Prfx-:-Qrfj^H-Rd3^=o est intégrable, il existe unjacteur X tel, que X (Prfx-t-Q dj h-R dz) est une dijf'érentielle exacte dV; l'équation est donc satisfaite en posant U = G, G étant une constante arbitraire.