CHAPITRE XI. 6l

Il reste à tirer des équations (3) et (5) les valeurs de C et de G pour les substituer dans Téquation

OÙ (f désigne une fonction arbitraire ; cela revient à éliminer C et O entre les équations (3), (5), (6). On a ainsi

Cette équation (7) est l'intégrale générale demandée. . Supposons que la fonction y(j:,j^) soit

a étant une constante donnée. L'équation à intégrer est

axf

z zjzpx -i- qjr -i-

et, d'après la formule (7), l'intégrale générale sera, en faisant Xq = o,

ou, en supposant a: ^ o et en faisant, sous le signe / 9

a = .r©l— — aXY \ — - : T»

6i6 CALCUL ihtégràl.

Des éijuations aux différentielles totales*

784. Avant de poursuivre Tétude des équations aux dérivées partielles, nous devons parler des équations aux difTérentielles totales que Ton rencontre dans certaines recherches. Nous nous bornerons au cas de trois variables j:, y^ z, dont Tune sera regardée comme une fonction des deux autres, et Téquation dont nous allons nous occuper est

P, Q, R étant des fonctions données de x, j% z. Il s*agit de savoir s'il existe une fonction z àe x el j propre à vérifier l'équation (i) et de trouver cette fonction quand elle existe. Si Ton fait

dz z=z pdr -+- qdXt

et que l'on substitue cette valeur de dz dans l'équation (i), les différentielles restantes dx, dj étant arbitraires, il faudra que leurs coefficients soient nuls ; on a donc

(2) P-+-Il/> = o, Q-f-R^ = o.

Ainsi, il nous faut satisfaire par une même valeur de 2 à deux équations aux dérivées partielles \ cela n'est possible que dans le cas où une certaine condition se trouve remplie. Différentions la première équation (2) par rapport à ^ et la seconde par rapport à x; on aura

(dV dK\ /ÔP âK\ ^dp fôQ dR\ fôQ dR\ „ da