CHAPITRE yi. 6lQ

On a, d'ailleurs, par les formules (4) et (5),

df ôjr ôjc ôy ày ôr.

dz ' Ôz dx ôz ôz Ox ^

si Ton substitue ces valeurs,' ainsi que celles de -t-> ---'.

' ^ ày ôz

tirées des formules (4)» Téquation de condition (7) deviendra

Enfin, en ajoutant Tidentité

qui résulte des équations (4)? effectuant les différentiations et supprimant le facteur yi, on trouve

ce qui est l'équation de condition déjà obtenue au n« 784.

On voit que, si cette condition est remplie, la quantité X qui figure dans Téquation (6) sera fonction des seules variables x et u. Dès lors, cette équation (6), qui n'est qu'une transformée de la proposée, sera une équation différentielle ordinaire, dont l'intégrale générale pourra être mise sous la forme

C étant une constante arbitraire et U une fonction de x et de u^ c'est-à-dire une fonction de Xy y^ z.

L'analyse précédente montre que l'équation de condi-

6aO CALCUL INTÉGRAL.

tion (8) est nécessaire et suffisante pour que Téquation

proposée admette une intégrale ; elle donne, en outre,

' le moyen de déterminer cette intégrale quand elle existe.

787. Cas ou P, Q, R sont des fonctions homogènes DU MÊME degué. — Supposons la condition d^intégraLilité remplie, et posons

F, Q', R' étant des fonctions de xf et de^'. La proposée (i), divisée par z""*"*, devient

ou

dz y djc' -h Q' dx'

le deuxième terme de cette équation ne dépend que des variables a/, j^, et il doit être une différentielle exacte, en vertu de Téquation de condition.

Considérons, par exem'ple, Téquation

On a ici

et la proposée peut s'écrire comme il suit :

dz (y«-4-/-4-i)^y-4,(j:^«-^ j^,f-|]^^ z "^ (a:'/H-x' + /)(:r'-f./-M) * .- ^•

Or on a, par la décomposition en fractions simples,

(xy-Hx'-4-/)(x'-H/-f-i) "" x'/ -+- x' H-/ x' +/-*-!

(x'/H-x'T;^T(i'-f-y4-i)""xy-f-x'H-y""x'-h/-hl'

CHApiTaE XI. 6a I

ce qui permet de mettre notre équation sous la forme

On voit que chaque terme est une différentielle exacte; rintégralion donne, en désignant^ par a une constante arbitraire y

logz -h log(x'/ -4- x" -{-/ ) — log(x' -hjr' -f- l) = log a,

d'où

afy -h r'-J- Il

Remettant enfin - j - au lieu de a/, i', il vient

' xjr -^jz -h za- =: a ( X -4- j -f- z),

ce qui est Tintégrale de la proposée.

Définition de l intégrale générale d 'une équation aux dérii/ées partielles du premier ordre. — Des intégrales complètes.

788. La variable x étant regardée comme fonction des n variables X|, x^j • • m ^ni posons

dx = Py dxi -\- Pj rf-Tj -4- ... -h /?^ dXn»

Toute équation telle que

F [x, Xj, Xj, . . . , X„, pi, ^2* ' • • ^ Pn ,^^^ ^

est une équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Si Ton peut trouver une valeur de Xy fonction de Xt , X27 '• '7 ^ftf qui satisfasse à Téquation proposée et qui se réduise à une fonction donnée arbitraire ^deX{fX2y.,

X/i.i quand on donne à Xn une valeur déterminée \n choisie à volonté, l'équation qui détermine cette valeur de X sera dite V intégrale générale de la proposée.

L'équation proppsée et celles qu'on en déduit par des dlffërentiations successives déterminent les valeurs de x et de ses dérivées dçs divers ordres, relatives k Xny en fonction de x, Xj, X2,..., x„, et des dérivées de a: relatives à X|, x^, . . . , Xn^\* On conclut aisément delà que rintégrale générale, si elle existe, est unique.

L'existence de l'intégrale a été établie précédemment à l'égard des équations linéaires par rapport aux dérivées, et elle sera démontrée généralement, pour toutes les équations aux dérivées partielles du premier ordre, par la méthode même qui nous servira à la trouver.

789. Lagrange a nommé intégrale complète d'uneéquation aux dérivées partielles du premier ordre, à n variables indépendantes, toute équation entre les n -f- i variables qui satisfait à l'équation aux dérivées partielles et qui renferme /inconstantes arbitraires.

Soient

une équation aux dérivées partielles du premier ordre, à n variables indépendantes x^, x^j • • • 7 Xn, et

(2) /(j:, X,, x,, . . ., .r„, rij. <7j, . . ., a;,) = o

une intégrale complète de l'équation (i). Si l'on dilTérentie cette intégrale par rapport à chaque variable indépendante successivement, on aura

L'équation (i) doit devenir identique quand on j rem-