CHAPITRE XI. 6a
place X et Pi y /7a, . . ,, p„ par les valeurs tirées des équations (2) et (3); donc on doit reproduire Téquation (i) quand on élimine les n arbitraires a^f a^t - , ., an entre les équations (2) et (3).
L'intégrale générale de Téquation (i) renfermant une fonction arbitraire de n — i variables, il est évident qu'on pourra en déduire une infinité d'intégrales complètes. Mais il est très-remarquable que réciproquement l'on puisse déduire d'une intégrale complète une solution renfermant une fonction arbitraire de 71 — i variables et qui généralement coïncide avec l'intégrale générale.
Pour démontrer cette importante proposition, considérons la constante arbitraire an de l'équation (2) comme une fonction arbitraire cp(ai, ^2, . • . t ^/i.i ) des n — I autres arbitraires. L'équation (2), qui satisfait à l'équation (i), dans l'hypothèse des arbitraires constantes, ne cessera pas de la vérifier si l'on suppose les arbitraires variables, pourvu que les équations (3) subsistent dans cette, dernière hypothèse.
Prenons la différentielle totale de l'équation (2) en considérant les arbitraires comme variables, mais en supposant que an soit remplacé par la valeur
écrivons aussi p^dx^ -[-. • '-hpndxn au lieu de rfxj il viendra
àf ^ àf , df ,
Il est évident qu'on déduira les équations (3) de la précédente si les arbitraires a^y a*^^ . . ., an^\ sont dé-
6a4 CALCUL INTÉGRAL*
finies par les équations
Si donc on pouvait éliminer a^ ^2, • . ., a„^i entre les équations (2) et (5), on obtiendrait une équation contenant une fonction arbitraire de n — i quantités et satisfaisant à la proposée; une telle équation ne peut différer de Tintégrale générale. Mais Télimination dont nous venons de parler n'est pas possible^ à cause de la fonction arbitraire (f qui entre dans Téquation (2), et dont les dérivées partielles figurent dans les équations (5); il faut donc conserver le système des équations (2) et (5), qui définit Tintégrale générale d'une manière suffisante.
Il faut remarquer qu'à chaque intégrale complète de l'équation proposée répond une forme déterminée de l'intégrale générale, et que, relativement à cette forme, l'intégrale complète joue le rôle de solution particulière, en ce sens qu'elle ne s y trouve pas comprise. On voit enfin que toute équation aux dérivées partielles du premier ordre résulte de l'élimination d'une fonction arbitraire par la méthode exposée au n** 87; cela suppose toutefois que l'existence de l'intégrale générale soit établie.
790. Les remarques qui précèdent s'appliquent à toutes les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Mais on a vu au n^ 778 que, dans le cas des équations linéaires par rapport aux dérivées, l'intégrale générale peut être mise sous une forme particulière qui ne convient qu'à ce genre d'équations ; cette intégrale doit coïncider avec celle que l'on déduit d'une intégrale complète. Nous allons éclaircir cela sur un exemple.
CHAPITIVE XI. 625
Considérons Téqualion
linéaire par rapport aux dérivées; z est une fonction inconnue des variables x^y, et nous faisons comme à Tordinaire
On satisfait à Téquation proposée en posant
r = ûx 4- bfy
aelb étant des constantes, car on tire de là/? = a, ^ = & . L'équation précédente est donc une intégrale complète de la proposée. Pour avoir l'intégrale générale, il faul, d'après la méthode du n® 789, remplacera par une fonction arbitraire <\[(i) de a et éliminer a entre les deux équations
dont la seconde s'obtient en diflTérentiant la première par rapport à a. D'après cette seconde équation, ^* [a) est
égale à — -5 donc a et ^[a) sont des fonctions de'-» et
la première de nos deux équations montre que l'on a
rien ne détermine la fonction <f^, et nous retrouvons par cette voie l'intégrale à laquelle conduit la méthode du u*' 778.
Intégration des équations aux dévissées partielles du premier ordre, dans le cas de deux variables indépendantes»
791. Le problème qui constitue le calcul intégral des équations aux dérivées partielles est aujourd'hui corn-
S. — Caic, iiii, fyi
6^6 CA.LCUL IHTéG1lA.L.
plétement résolu pour ce qui concerne les équations du premier ordre, c'est-à-dire que l'intégration d'une telle équation peut toujours être ramenée, quel que soit le nombre des variables indépendantes, à l'intégration d'un système d'équations difTérentielles ordinaires simultanées. Parmi les méthodes propres à atteindre ce but, il faut surtout distinguer celles de Jacobi et de Gauchy; je prendrai ici pour point de départ l'analyse de Gauchy, mais je présenterai en même temps quelques développements relatifs à une difficulté inhérente à cette analyse et que j'ai déjà publiés ailleurs.
792. Nous considérons d'abord le cas de deux variables indépendantes. Soit
(î) F(x,jr,3,/?, q' — O
l'équation proposée, dans laquelle ^ désigne une fonction inconnue des deux variables indépendantes x,j', et où/e7, (/ représentent respectivement les dérivées partielles dz dz dx ôjr
Il s'agit de trouver une valeur de z qui satisfasse à l'équation (i) pour toutes les valeurs de x et de j^, et qui, pour une valeur donnée x^ de x, se réduise à une fonction arbitraire Aonnée f[y) dejr. Ainsi l'on doit avoir en même temps
le problème énoncé en ces termes est complètement déterminé.
Introduisons, avec Gauchy, une fonction actuellement indéterminée y^ de or et de j^ ; on pourra considérer jr comme une fonction de x et de r«, et mlors z^p^q seront
aussi des fonctions de ces mêmes variables. On aura donc
dz , àz .
dx ôj^
et, si l'on porte ces valeurs de Jz et de dy dans l'équation qui exprime la définition de p et de 9, il viendra
Cette équation ajant lieu quelles que soient les difTérentielles dx et dy^ on a
/ \ dz dy
Si l'on diSerentie l'équation (a) par rapport k j^ et
l'équation (3) par rapport à Xy puis que l'on retranche
ensuite les deux résultats obtenus l'un de l'autre, il
viendra
[A\ dp ___dq dy dq dy ^
^^' dyfi dx dy^ ôy^ dx^
Cela posé, désignons par
dF = Xdx -f- Ydy H- Zdz -h ^dp -h Qdq
la diflférentielle totale du premier membre de l'équation (i); on aura, en di£férentiant cette équation (j) par rapport kjof
/•rx -mr dr r. "dz ^ dp ^ ^^
6^8 CALCUL lliTÉGRAL.
dz et, si Ton porte dans Téquation (5) les valeurs de -x—
et de ^ tirées des équations (3) et (4), il viendra
Or, la fonction de x et de^o qui représente^ et que nous avons introduite est jusqu'ici indéterminée*, nous en disposerons de manière que Ton ait
et nous l'assujettirons en outre à se réduire d jr^ pour x = Xo' Ainsi Ton aura en même temps
•r— ''o' J~ro> «~'3o> ^--<7o. P=Po^ en posant, pour abréger,
et en déterminant po par l'équation .
qui n'est autre chose que l'équation (i), dans laquelle on remplace x, j^, z, p^ q respectivement par Xo, jo>
^o> P^y Ço»
L'équatÎDu (7) réduit l'équation (6) à
en sorte que le problème proposé est ramené à trouver quatre fonctions j^, z, /?, q des deux variables indépendantes X et j^O) qui satisfassent généralement aux cinq équations (1), (a), (3), (7) et (8), et qui se réduisent
CHAPITEB XT. 6^29
respectivement àj^o> ^o> Po> ?o pour x = Xo] nous ne parlons pas de Téquation (4)» parce qu'elle résulte, comme on Ta vu, des équations (a) et (3).
793. Mais les équations (i), (2), (7), (8) suffisent, comme on le verra, pour la détermination des inconnues ^9 ^f Pi Ç\ Téquation (3) est donc surabondante, et il faut qu'elle se trouve vérifiée d'elle-même. Voici comment Cauchy a démontré cet important théorème.
Supposons que des équations (i), (a), (7), (8) on ait tiré pour j, z, p^ q des valeurs déterminées, fonctions de X et de j^o> qui se réduisent respectivement kj^y z^y Poy Ço pour X = Xo ; les deux membres de l'équation (3) seront aussi des fonctions déterminées de x et de j^oy 6t, en désignant par T leur différence, on aura
Si Ton différentie cette équation par rapport à Xy et qu'on en retranche ensuite l'équation (2) préalablement dific^rentiée par rapport k j^y on aura, au lieu de Téquation (4),
dT
àx
puis, en portant dans l'équation (5) les valeurs de -r— et de -r^ tirées des équations (9) et (10), il viendra
enfin, à cause des équations [y) et (8), cette équation se
63o cALCuc mrÉGRàL.
réduit à
T. ^T ^ I dT Z
dx T dx P
La quantité — - étant exprimée en fonction de x et
de jToy si Fintégrale — t -dx sl nue valeur finie et déterminée, on tirera de l'équation précédente
T rz
(12) ^''^%'="~'J v"^' T = Totf
en désignant par To la valeur que prend T pour x = x».
Mais, comme Thypottièse x = Xo réduit ^— à çq et ~-
k I, l'équation (9) montre que Tq = o, et, par suite, à cause de l'équation (12), on aura généralement
Nous examinerons plus loin le cas singulier dans lequel
l'intégrale / ^dx cesse d'avoir une valeur finie et déterminée.
794. D'après ce qui précède, nous n'avons à considérer que les équations (i), (a), (7) et (8). On peutméme, si l'on veut, remplacer l'équation (i) par sa dérivée relative à x; cette dérivée n'a pas en effet plus de généralité que l'équation (i), puisque les valeurs de y^ z, p, q doivent se réduire à ^o> -^o» Po> 7o pour x = x^. Or la dérivée en question est
QJC Ox Ox ÔM
CBAriTRE XT. 63 1
et, en y remplaçant -r- j Q et Y par les valeurs tirées des . équations (2), (7) et (8), elle se réduit à
Le problème dont nous nous occupons est donc ramené à trouver, au moyen de quatre des équations (1), (2), (7), (8), (i3), des valeurs dej^, z, /?, y, fonctions de j: et de ^'09 qui se réduisent respectivement à^o» ^o? /'o» ^o pour X = Jc©.
Les équations (a), (7), (8), (i3) forment en réalité un système de quatre équations simultanées aux dérivées partielles ; mais, parce que ces équations ne renferment pas la variable indépendante ^'o? elles doivent être traitées comme des équations différentielles ordinaires ; elles sont comprises dans la formule unique
... dx elr dz — tlp — flq
('4J ^ — i^ — ^p^qq-^ x^Zp — y"-+:"z^»
et l'une d'elles, nous devons le répéter, peut être remplacée par l'équation (i).
Si le premier membre de l'équation (i) est une fonction linéaire relativement aux dérivées p et ^, comme sa différentielle prise en ne faisant varier que p et ç est Pdp-h Q^dq, Pet Q seront indépendantes depet^, et F aura la forme P/j-hQ^-^R, R étant comme P et Q fonction de x^y, z. Dans ce cas, les deux premières des équations contenues dans la formule (i4)y savoir
dx dy dz
permettent, sans le secours des autres, de déterminer les valeurs de y, z en fonction de x et jo- On est ainsi ra-
63a CALCUL INTÉGRAL.
mené* dans le cas des équations linéaires par rapport aux dérivées, à la règle du n** 774.
79o. Supposons généralement que des équations (i4} on ait tiré des valeurs de j^, 2, p^ q se réduisant à ^09 ^u? Poy Ço pour X = Xq'j soient
J ---/i(-^,ro»«o»<7o).
î— /*(«^.ro»«o, 7o)
ces valeurs; nous n'écrivons pas la lettre po dans ces expressions, parce qu'on peut toujours supposer que Ton ait substitué sa valeur tirée de l'équation F(j:o» 7o> ^09 P09 ^o) = ^î quant à Xo, c'est une valeur numérique déterminée dont il n'y a pas à s'occuper.
Les deux premières équations (i5) donneront la solution du problème proposé si l'on y remplace z© p^^/{Xo) et ço par/'(/o)' Si Ton attribue à la fonctiony(j'o) une forme déterminée, et que l'on puisse éliminer yo entre les deux équations dont nous parlons, on aura l'expression de la fonction inconnue zenx etj. Mais, si la fonctiony(j^o) ou Zq reste indéterminée, l'élimination dejr^^ sera impossible, à moins que les valeurs dey et de z ne soient l'une et l'autre Indépendantes de Çq ; dans ce cas, si Ton résout les deux premières équations (i5) par rapport à^o et Zq, on obtiendra des expressions de la forme
et la solution du problème sera donnée par l'équation
d'où l'on conclut, comme on sait, que l'équation pro-
CBAPITKE XI. 633
posée (i) est nécessairement linéaire par rapport aux dérivées p et ç.
Si l'on fait abstraction du cas d'une équation linéaire, je dis qu'aucune des expressions dey et de z ne peut être indépendante de qo. En efiet, portons dans Téquation (3) les valeurs de^, z, ç tirées des équations (i5); on aura
cette équation doitavoir lieu identiquement, et, par suite, les ternies multipliés par -^ doivent se détruire. On a donc encore identiquement
le facteur y*! =; ^ ne peut être nul généralement, d'où il
suit que, si l'une des quantités -^9 j-^ est identiquement
nulle, l'autre doitTêtre aussi ; donc les deux fonctionsy*! ety*a dépendent Tune et l'autre de ^o» ou elles sont l'une et l'autre indépendantes de cette quantité : ce dernier cas ne peut avoir lieu, comme on Ta vu plus haut, que si Féquation proposée est linéaire par rapport aux dérivées p et ç.
Cela posé, si Ton élimine Ço entre les deux premières équations (i5), on obtiendra une équation qui pourra tenir lieu de la seconde d'entre elles et que je représenterai par
(16) V(x, ^, «, ^of«o' — o ou V=:0.
Si l'on prend la différentielle totale de cette équation, et que l'on y remplace dz^ par ^o^o» dz par/? Jx -^qdj ^
634 CALCUL IKTÉ61UL.
il viendra
mais la première équation (i5) donne
si Ton porte cette valeur de dj dans Téquation précédente, et il ne restera plus que les deux seules différentielles indépendantes dx et dyo t en égalant donc à zéro les coefficients 'de celle-ci, on aura
dx
dy\ (dV dY\dfi
àzJ\àXo àz/ dq^ôjrj \djo dz^
Ces équations doivent devenir identiques si l'on y remplace j^, z, p, q par les valeurs tirées des formules (i5).
Or celles-ci ne contiennent pas la quantité arbitraire -r^ ;
il est donc nécessaire que cette quantité disparaisse de la dernière équation. Comme nous faisons abstraction du
cas où l'équation proposée (i) est linéaire, la dérivée-—^
ne peut être nulle ; il faut donc que x "^ ^ TT" *'*°"
nule, et, en conséquence, on a simultanément, par les équations précédentes,
et
d\ dW ÔY dV
chàpithb XI. 635
Ainsi les quatre équation» (16), (17) et (18) deviennent identiques en vertu des équations (i5); elles déterminent d'ailleurs les valeurs de y y z, /?, ^, et, par suite, elles peuvent suppléer les équations (i5).
En particulier, si Ton remplace, dans V, Zo pary(j>'o)» l'intégrale cherchée de Téquation (1) sera le résultat de Télimination de j^o entre les deux équations
-x — j désignant la dérivée de V prise par rapport àj^o»
mais en considérant Zq comme fonction de j^o- Donc, pour avoir cette intégrale, il suffit de connaître la fonction V, et on l'obtiendra en éliminant p, ^% pot Ço entre les quatre intégrales des équations (i4) et Téquation F(j:o» JToi ^OfPof fa)-~ o.
