CHAPITRE XII

directe. On peut alors se dispenser d'introduire, comme nous l'avons fait, les quantités (ù, u, . . ., en dirigeant le calcul comme il suit. L'intégrale proposée étant

S= f Vrfr,

on a, comme on l'a vu,

. âlYdx) ^

mais nous écrirons simplement

sans désigner la variable par rapport à laquelle se fait l'intégration, les valeurs que prend cette variable quand on a j: = Xq, x = oTi devant être prises pour limites de l'intégrale.

Cela posé, V est une fonction de x^y, ^', . . . , z, 2', . . . ; mais nous introduirons, au lieu des dérivées j^^, y\ - . ., zf, . . . , les différentielles des variables a:, j^, z, . . . , la variable indépendante étant le paramètre t, dont la variation est nulle. Comme on a

dx ^ (ixePjr — dyd^x , tlz

(ix dx^ dx

ydx deviendra une fonction de x, j, z, . . ., dxy dy^ dzy . . ., d^x, d^y-y d^Zy ... ; en différentiant ce produit avec la caractéristique d et en remarquant qu'on peut intervertir l'ordre des opérations exprimées par d et J, on aura un résultat de cette forme :

-+- Yo^/ -f- Y|rfay H- Y,e£«(îy -h. . . -4- Zg (^3 -f Zi rf^2 -i- Z, d^ 9z

Les dîfTérentialîons exprimées par d se rapportent à la variable ty et rintégration par parties donne

/ Hid JjT = Xj ^-c — I dXi ^x,