CHAPITRE Xlf

variation i[Ydx), pourvu que Ton ajoute au second membre les termes

analogues à ceux qui dépendent de &>. En appliquant à ces nouveaux termes le procédé que nous avons employé, on trouve cette expression de dS,

(il) ^s = (rj— ro)-4- r {K« + Hny-}-Gx-f-...)^-^>

où K désigne la quantité définie par la formule (7) et où Ton fait de plus

fiZ' d^Z" , . r/z'ZC)

dz dv* • ■ ^ y ,/^p

de dr* ^ ' dxf

En outre, Tq, Fi désignent toujours les valeurs que prend F aux limites de l'intégration , c'est-à-dire les valeurs qui répondent respectivement à j? = x© et à x = Xi ; mais à l'expression générale de F donnée par la formule (10) il faut ajouter de nouveaux termes, savoir ceux qu'on déduit des termes déjà écrits et qui renferment les lettres Y, j, en remplaçant respectivement ces lettres par Z, z, puis par U, u, etc.

835. Enfin il nous reste à examiner le cas où la fonction V dépend des valeurs de x, y, j', j'\ . . . , j f"-*), z, z!y z", . . ., 3^^~*^, . . . aux limites de l'iolégrale.

Dans ce cas, la variation de Yda: se composera de deux parties, savoir celle que Ton obtient sans faire varier les quantités qui se rapportent aux limites et celles que l'on obtient en ne faisant varier que ces seules quantités.

6g6 CALCUL IJVTÉGRAL.

Nous avons considéré la première partie aux numéros précédents, et, si Ton représente par la caractéristique d* les variations relatives aux seules limites, la seconde partie sera î'( Vrfx) ou 9Y dx. Il suffira donc d'ajouter à l'expression ( 1 1 ) de dS le terme

Vdx.

On a

d'où, en intégrant,

si donc on fait, pour abréger,

(i5) ç=ri-ro + A,

l'expression complète de dS sera

(i6) (TS^g+r (K» 4- Hcj-f-Gx -+-... l*^»

et Ton voit que les termes introduits dans Ç par A sont de même forme que ceux qui existaient déjà.

Autre manière de calculer la variation d'une intégrale

définie,

836. Au lieu d'appliquer la formulé générale que nous avons obtenue au numéro précédent, il est souvent préférable, dans les applications, de procéder à une recherche