CHAPITRE XII

Nous avons suppose ici que la fonction V est indépendante des valeurs que prennent les variables aux limites ; mais, si le contraire a lieu, il suffira d*ajouter à l'expression précédente de iS les nouveaux termes dont nous avons fait le calcul au u^ 835.

La formule précédente coïncidera avec celle du n** 835, si Ton y remplace ^y, iz, . . . p*ar les expressions

djr ^ dz .

-7- ox -h w, -7- 0 x -+- CT, ... ;

tir dx

par cette substitution, la quantité XJxH- Y ^-hZ î^-f- ..► se réduit à

Sx dx

il en résulte que Ton a identiquement

et que Y, Z, . . • ne sont autre chose que les quantités dé-signées par K, H, ... au numéro cité.

837. Nous avons calculé la variation de l'intégrale définie S dans rhypothèse la plus générale et en supposant une altération quelconque dans le système des fonctions de x que nous avons désignées parj^, z, . . . . Si Ton suppose que la variable x coïncide avec la variable t^ dont la variation est nulle, les limites Xqi 0:1 seront constantes, et Ton aura généralement ix =.- o. Alors les quantités désignées par co, cr, • • • ne sont autre chose que les variations ^, iz, .... L'expression de dS se réduit alors à

,S=(r.-r.)-.riil±^i-:^...

CALCUL INTÉGUAL.

Objet de la méthode des variations,

838. La méthode des variations a été imaginée par Lagrange, dans le but de résoudre certains problèmes de maxima et de minima d'une nature particulière; mais elle peut être employée avec avantage dans d'autres questions diverses. Dans les problèmes de maxima et de minima dont je viens de parler il s'agit de déterminer des fonctions d'une variable indépendante^ de manière à rendre maximum ou minimum une certaine intégrale définie où figurent ces fonctions. Quelques problèmes de ce genre avaient été résolus avant Lagrange ; en voici un exemple :

Trouver une courbe plane CMD qui passe par deux points donnés C, D et qui soit telle que l'aire engendrée par l' arc CD en tournant autour d' un axe situé dans son plan soit un minimum.

Si l'on choisit deux axes rectangulaires O x, Oy dont le premier coïncide avec l'axe de révolution, que l'on

uJ

mène les ordonnées CA, DB des extrémités G^ D, et que l'on fasse OA = jCq, OB = ar^ la surface engendrée par l'arc de courbe CD sera égale à 2 7rSy en désignant par S l'intégrale