I. — Proposition de Jacobi

En désignant par a et ^ deux quantités dont le rapport soit réel et incommensurable, on sait, par la théorie des

fractions continues, qu'il est possible d'approcher de -r par

une infinité de fractions rationnelles — } de manière à véri-

fier la condition

b n /i* £ étant moindre que Tunité. De là on tire

na — mo = — • n

Or une fonction ayant pour périodes a et 6 ne changera pas en ajoutant à la variable une somme de multiples de ces quantités par des nombres entiers, telle que na — mb. Comme le nombre n peut être pris aussi grand qu^on veilt,

sans quoi j- ne serait pas incommensurable, la nouvelle

période na — Tnb^=. — peut être rendue plus petite que

toute quantité donnée, et par là nous reconnaissons déjà quMl ne peut exister de fonction doublement périodique où le rapport des deux périodes serait réel et incommensurable.

C^est à cette même conclusion d^une période infiniment petite, ou du moins dont le module est infiniment petit, que nous allons parvenir, en supposant trois périodes imaginaires

a = a H- la',

Je dis, en effet, qu'on peut déterminer une infinité de nombres entiers, m, /i,/?, tels que le module de am -^ bn -{- cp soit moindre que toute quantité donnée.

Considérez pour cela la forme quadratique ternaire

f = (^ax-h^y-+-'^z)*-{-{a'x-h p>-h y'-*)*-^ r^y

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 743

OÙ X est une quantité réelle arbitraire et dont le déterminant est

Le minimum de f, pour des valeurs entières des indéter-

minées, aura, comme on sait, pour limite supérieure v^A, de sorte que, en désignant par m, n, p ces valeurs, on obtient l'inégalité

et, à plus forte raison,

S^il est donc impossible d'avoir à la fois

am -f p/i -■ Y/' - ^>

ou bien

am -»- 6/1 -; cjo — o,

c'est-à-dire si a, b-, c sont trois périodes réellement distinctes, on reconnaît que, \ croissant, A peut devenir aussi petit qu^on veut, et qu^on parvient à des périodes dont le module, ainsi que nous Tavons annoncé, est indéfiniment décroissant. Toutefois nous supposons que le déterminant de la forme quadratique ne soit pas nul. Mais, dans ce cas particulier, au lieu de la forme ternaire, on considérera la forme binaire

(aa: -H P7)» -r- (a'ar -+- p»« H- {-^ . ■

Sous la condition ap' — px'zi=o, son déterminant sera — ^ , - '

et ne pourra plus jamais s'évanouir. Or, en supposant que le minimum soit donné pour j: =:///, ^ = n^ on aura

7^4 NOTE SUR Là théorie

et, a fortiori y

(«m - p/i)î--(a'm -+- p'n)* < U 'tl—-^

de sorte qu^on pourra raisonner comme précédemment et parvenir à une période am + hn dont le module sera d^une petitesse arbitraire. Ce cas particulier rentre d'ailleurs dans celui dont nous nous sommes occupé en premier lieu, car la condition ap' — px' = o exprime que le rapport

a -\- il! a , ,

-r rQ7 = 7 est réel.

IT. — De la périodicité dans les fonctions circulaires,

La notion géométrique de ces fonctions, leur définition dans le cercle, met en évidence immédiatement tout ce qui concerne la périodicité, tandis que, au point de vue de TAnalyse pure, en prenant, par exemple, pour définition les développements

S\ïiX — X -

cosa" — I —

ce caractère si important semble beaucoup plus caché. 11 n'en est pas autrement à Fégard de l'exponentielle consi-

ou comme la série i H 1 '■ 1 — r- -h . . .. Mais les

fonctions circulaires sont susceptibles d'autres expressions où le caractère périodique apparaît tout aussi immédiatement qu'en Géométrie, et qu'il est d'autant plus intéressant d'étudier que d'elles-mêmes, par une généralisation facile, elles conduisent aux fonctions plus élevées possédant deux périodes différentes. Pour premier exemple, je prendrai le

développement en produit infini

qu^on peut considérer comme la limite, pour m infini, du polynôme

Or on voit de suite qu^on a

ce qui donne, en supposant rti infini,

d^où Ton conclut

sin(7:J* -ht:)— — sinira:

et, en remplaçant r.jc par x,

sin(j^ î-t:)— — sinx et, par conséquent,

sin(j7 -h ai:) --= sina?.

Nous serons conduit à un second exemple en prenant la dérivée logarithmique des deux membres de Téquation (i), savoir