SUR LA

On donne le nom de fonctions algébriques aux polynômes entiers par rapport à une variable, aux quotients de ces polynômes et aux racines des équations dont le premier membre est une fonction entière par rapport à l'inconnue et à cette variable. Les fonctions que Ton appelle transcendantessoni toutes celles qui ne rentrent pas dans la définition que nous venons de rappeler, par exemple : les exponentielles et les logarithmes, les sinus, cosinus, tangentes d'un arc de cercle, ou les arcs sinus, arcs tangentes, etc. Les fonctions de fonctions que Ton obtiendra par des combinaisons algébriques de ces premières transcendantes seront encore évidemment des fonctions transcendantes, et Ton voit ainsi comment on peut, quoique sans utilité, en multiplier indéfiniment le nombre. C'est en quittant le champ de TAIgèbre, et en quelque sorte dès l'abord du Calcul intégral, qu'on est amené naturellement et sans efTort à l'origine véritablement féconde d'une infinité de fonctions nouvelles, distinctes essentiellement les unes des autres, offrant pourchacune déciles un ordre de notions analytiques propres, en même temps que des caractères communs qui les réunissent en grandes catégories, et dont l'étude approfondie estl'un des objets les plus intéressants de la Science actuelle. Deux géomètres illustres, Abel et Jacobi, ont attaché les premiers la gloire de leur nom à cette étude, en posant les fondements de la théorie

des transcendantes à différentielles algébriques, dont les logarithmes Ç^ et les arcs de cercle C ^^^ forment

les termes les plus simples et les plus élémentaires. Après les logarithmes et les arcs de cercle, s'offrent les fonctions elliptiques, auxquelles donne naissance l'étude des inté-

crrales C- - ^ , aui ouvrent la série des nou-

velles fonctions et en présentent le premier terme. Ce seront celles auxquelles sera consacrée cette Note, et dont on va essayer de donner une première idée en présentant Tesquisse de leurs caractères les plus saillants.

Propriétés communes aux fonctions circulaires

et elliptiques.

En rappelant tout à Theure la définition des fonctions algébriques, nous avons dit qu'elles comprenaient, d'une part, les polynômes et les fractions rationnelles et, de Tautre, les racines des équations F(/, a:)t=zo, dont le premier membre est rationnel et entier par rapport à la variable et à l'inconnue/. Dans le premier cas, les fonctions ne sont susceptibles que d'une seule et unique valeur pour toute valeur réelle ou imaginaire de Xy tandis que, dans le second, elles offrent autant de déterminations qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation supposée irréductible et qui sert à les définir. Une différence du même genre se montre entre les transcendantes simples sin.r, cos;r, tango? et arcsinj;, arccos^c, arctanga?, les premières ressemblant aux polynômes et aux fractions rationnelles, comme n'étant susceptibles que d'une seule et unique détermination ; les secondes, au contraire, en admettant une infinité, sont à cet égard comme les racines d'une équation dont le degré serait infini. Et il en est évidemment de même pour l'exponentielle e^et le logarithme qu'on peut considérer comme défini par l'équation transcendante ou de degré infini

DRS POiNCTIONS ELUPTIQOES. 739

erzzzx. Ce rapprochement, qui s'offre au premier aperçu, se confirme et se complète par les remarques suivantes. Pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable, on a

sino?

tango:

et du fait même de la convergence des séries résulte qu'en les arrêtant à un terme suffisamment éloigné, les transcendantes se trouvent, avec autant d'approximation qu'on le veut, remplacées par des polynômes et des fractions. Tout au contraire, les développements

arc sm-r = a: H -^ , - - h h . . . ,

arc tanfîar — x — -4- ^ h...

ne subsistent qu'en supposant le module de la variable moindre que l'unité, et l'assimilation approximative avec des polynômes n'est possible que dans un intervalle fort restreint. Enfin, et ceci est le point qu'il importe surtout de remarquer, par une seule valeur donnée, soit de l'exponentielle ou des fonctions circulaires, on en peut obtenir, algébriquement ou même rationnellement, une infinité d'autres. C'est ainsi qu'en Trigonométrie rectiligne on calcule, en partant de l'arc de lo", toutes les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente qui figurent dans les Tables,

74o NOTE SUR LA THÉORIE

propriété aussi remarquable qu4mportante de ces fonclions, et qui découle de ces relations

sin(a^ ->[-y) = sinarcos^ -+• sin^cosa^. cos(ir -r-^) — cosar cosj^ — sina? s\nj'.

•^ I — langer tang^

dont les seconds membres sont composés algébriquement avec les fonctions relatives à l'argument .r et à Targument^. Ces mêmes propriétés nous les trouverons dans les fonctions elliptiques, dont elles constituent les caractères les plus essentiels, et nous les résumerons en disant des nouvelles transcendantes qu elles sont des fonctions uniformes, à détermination unique, analogues à des fractions rationnelles, auxquelles on peut les assimiler avec autant d'approximation, et dans une aussi grande étendue quon le veut, des valeurs de la variable, et de plus que les fonctions relatives à la somme de deux arguments x et y s*expriment algébriquement par les fondions relatives à l* argument x et à V argument y. Enfin, et de même

qu'à Texponentielle et au sinus répondent les expressions

, . , . r dx r dr

inverses loff.r et arcsinu: ou bien / — , /

J -^ J y/i-j"' verrons, avec une infinité de déterminations, s'oftVir comme inverse des fonctions elliptiques l'intégrale d'une nature

plus élevée / , — — ' - » où la quantité placée

sous le radical est du quatrième degré en x.

De la périodicité dans les fonctions circulaires

et elliptiques.

Cette propriété importante manifeste d'une manière toute particulière la différence de nature des fonctions qui la possèdent avec les fonctions algébriques rationnelles dont nous les avons tout à l'heure rapprochées, et leur imprime leur

9 nous

caractère le plus apparent en quelque sorte de fonctions transcendantes. C^est d^ailleurs par la périodicité que les sinus et cosinus interviennent dans presque toutes les questions de L'Analyse, depuis les études qui ont pour objet les propriétés abstraites des nombres entiers jusqu'aux applications du Calcul à la Physique et à TAstronomie. Aussi est-il bien digne d'intérêt d'étudier à ce point de vue, dans la longue chaîne des nouvelles transcendantes, celle qui s'offre à son commencementet se joint immédiatement aux fonctions circulaires, les seules connues pendant si longtemps. Au début de leurs travaux, Abel et Jacobi firent simultanément la découverte capitale que les fonctions elliptiques possèdent deux périodes, une première qu'on peut toujours supposer réelle, et une autre qui est nécessairement imaginaire. Jacobi démontra, en outre, qu'une fonction uniforme d'une* variable ne pouvait posséder plus de deux périodes, et M. Liouville, après lui, embrassant dans toute sa généralité la théorie des fonctions doublement périodiques^ fit voir qu'elles se réduisaient aux seules fonctions elliptiques, et mit hors de doute la prévision de Jacobi, que ces fonctions résumaient en elles tout ce que pouvait présenter l'Analyse à l'égard de la périodicité, envisagée dans le sens le plus étendu. Nous allons, dans ce qui suit, nous occuper du mode d'après lequel se manifeste analytiquement ce fait si remarquable de la double périodicité, en commençant par étudier sous ce point de vue la périodicité simple dans les fonctions circulaires. Mais, en premier lieu et en raison de son caractère élémentaire et purement arithmétique, nous donnerons la démonstration de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction à plus de deux périodes.