III. — Sur l'expression I 1 a?f n J

Le fait principal sur lequel nous voulons appeler Inattention consiste en ce que ce produit n^est périodique qu^autant qu^on Ten visage comme la limite déjà considérée, savoir

pour m infiniment grand. Faisons, en effet,

et concevons qu^on augmente inéfinimentm et n en posant la condition

u) désignant une constante désignée à Tavance; nous allons montrer que, pour n infini, la limite de o(â?) dépend de a> et n^est périodique qu^en supposant co = i. Soient, pour abréger,

Jmd X — n X

JmàX-^ m X -h l

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 7/49

Inéquation (i) donne, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres,

cp(j7) jUix — n jUix-^m

Or on a identiquement

^àx — n~jid\x — u n) ^dn ^ànx — n* ^dn^

y-i-=v(-i — -LUy±=y — ■— +y-i,

Jmdx-r m ^d \x -T- m m} J^ m J^ mx-\- m* Jt^ m de sorte que, en faisant encore

on peut écrire

<p(j7; jidnx — /A* j^mx-^-/n* ' et il s^agit d^obtenir la limite du second membre lorsque m et n croissent jusqu^à Tinfini. Or les séries^ — j>

: sont Tune et Tautre convergentes, ont sépa-

rément des sommes finies et donnent lieu, par conséquent, à des limites parfaitement déterminées, où la condition nzzzdyn ne peut jouer un rôle. Mais il n^en est plus de

même à Tégard des séries 51 ^ ' 2 " ' ^^"^ ^®* sommes

croissent indéfiniment avec m et n\ d^oii résulte que X se présente comme la différence indéterminée de deux, infinis, et il s^agit d^en obtenir la valeur.

Nous représenterons à cet effet, par une intégrale définie,

la série — i h ... H » en partant de la relation

xV--^dx = -•

75o NOTE SUR LA THÉORIE

On aura ainsi

-\ r- . . .H = / dxii-k-x -h . . . -ha:»*-n

et il en résulte que la difTérence des deux séries semblables \^ — , 5j "" s'exprime par

\ dx I dx~ — = I dx ,

et il s'agit de trouver ce que donne cette intégrale en posant m = 0)71 et faisant n infiniment grand. On y parvient aisément par cette transformation très simple

On a, en effet,

\ i-ÏÏ-i-iJ

et, par conséquent, pour n infini, l'intégrale bien connue

* ç-Z f>-tùZ

La quantité désignée par X, ayant ainsi pour valeur /co, ne s'évanouit qu'en supposant o) i= i , et, dans ce cas, l'équation (2)devient

cpa? X X — 1 X — 2, X — m