X -hl X -r- -2 X -T- m

et il est visible qu'on peut remplacer les deux séries infinies par cette seule série convergente

dont la somme est ic cotit j;. Mais, en général, et en laissant entre m et /i le rapport arbitraire co, on aura

--. — - = it cet ira? -+- /(li, d'où

dx-i— — = Isinizx -^ X Ita -h consi.

et, par suite,

C étant une constante.

Ce résultat met en évidence le genre particulier d'indétermination que comporte l'expression 1 1 x( i -i- - ) et pourra servir à faire comprendre le fait analogue relatif au produit doublement infini I 1 a:[ i H j-~ )» dont

la valeur générale s'obtient en multipliant, par une exponentielle de la forme e*''"^ ?'"+'**', une valeur particulière, déterminée en définissant par une courbe, comme nous l'avons dit plus haut, la loi suivant laquelle on associe les nombres entiers m et/i, en les faisant croître indéfiniment. Mais, sous un point de vue plus général, on peut se demander s'il existe des fonctions uniformes et entières qui aient deux périodes. Tel est l'objet de la proposition suivante, due à M. Liouville, et dont l'illustre géomètre a fait la base d'une théorie complète des fonctions doublement périodiques (').

(*) On pourra conBulter sur ce sujet l'Ouvrage do Briol et Bouquet, intitulé : Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. Paris, Mallet-Bachelier.

S. — Cale, int. 4^