I. — Relations algébriques. Du module et de son

complément.

Deux équations linéaires entre les carrés 6*, H', 0}, \\\ résultent évidemment des expressions de ces quatre quantités par *Q(a:) et4>i(a:). L^une d'elles pourra être présentée sous la forme

e*(ar) -=aH«(;r)-ha'Hî(a?),

a et oJ désignant des constantes que nous allons déterminer.

(*) Notamment la transformation du second ordre.

S — Cale, int, 5o*

Pour cela, faisons ces deux hypothèses a: =: o et j? = X; ayant H (o) =1:0, Hi(K)=:o, nous trouvons ainsi

H»(K) ■" ÎIîCo)'

Hî(o)* Mais on introduit, au lieu de a et a', les quantités suivantes

H»(K)Hf(o)

e»(K)~ eî(o)' e«ço) eMo)

ce qui donne

d'où

A:e«(a?) = H»(a7)-hA-'HJ(a?).

Cette première relation obtenue, la seconde en résulte en y changeant x en x -\- iK' ] si Ton emploie à cet effet les formules données page 768, il viendra, en supprimant le facteur exponentiel,

ou bien

e*(x) = A:H»(iP) -4- k'e\ (x).

Ces deux équations représentent d'ailleurs toutes les relations algébriques possibles entre nos quatre fonctions; elles conduisent à la notion des quantités que nous avons désignées par k et k', et dont les racines carrées s'expriment en série de cette manière :

/T Ht(o) __ 2)/q -h 2\/g^'¥'ilfq^-}''^y/q^^-h .j. ~ 61(0) i-h-iq -h iq'^-h agr'-h •i^^«'-f- ...

"" Oi(o) "~ I -h aç -H 29* -h î^r» -+- 2Ç*«-i- . . .

La première, k, s^appelle le module et la seconde k', le complément du module. Considérées par rapport à «7, ou plutôt en faisant

par rapport à la variable w, ces quantités constituent un genre de fonctions analytiques entièrement nouvelles et de la plus haute importance parmi les fonctions d^une seule variable. C'est d'abord en Algèbre, dans la théorie des équations, puis en Arithmétique, dans la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées et de déterminant négatif, que la considération de ces fonctions a suggéré d'ellemême des points de vue tout nouveaux et ouvert des voies fécondes, où M. Kronecker a trouvé Torigine de plusieurs de ses plus belles découvertes. La propriété entièrement caractéristique qui joue le principal rôle dans ces recherches s'obtient immédiatement comme conséquence des équations (K) de la page 779.

Considérons en particulier les deux dernières, qu'on peut écrire ainsi en remplaçant ^i{x) et ni(j7) par leurs expressions :

Hi(.r)tf ^^^ = Cl f n- aQ co5-= 2Q*cos— j h . . . )

Nous avons établi les relations

d'où l'on conclut

Ce

cr

( /îA -f- J /» -t- î /; ■

-tliic

— Dfn

rt —

Cela étant, supposons a? = o et divisons membre à mem-

786 NOTE SCR Là théorie

bre, on trouve ainsi

e,(o) ' ' i-t-aQ-i-aQ^H-. et nous aurons de même

(O) ^— ^ — I^— aQ-f-îQ* — ...

ei(o) "■ ^ 7-+^Tq h- 2 qmT . ; '

Ces formules font voir qu'en remplaçant q par Q, et par conséquent la variable co par

c -+- doi

oii a el d sont des entiers impairs, 6 et c des entiers pairs assujettis à la condition ad — 6c = 1, ^ se reproduit au signe près, et^k' avec le facteur i élevé à la puissance en-

tiere •

Nous devons aussi appeler Fattention sur cette circonstance que k et k' sont des fonctions holomorphes de eu, mais qu^à Tégard de cette variable on doit admettre, en posant uizzzx -h iy, que y est difTérent de zéro et positif.

Ce sontdonc véritablementdes parties de fonctions, n^étant définies, n'ayant d'existence que dans la région du plan située au-dessus de l'axe des abscisses et qui dès lors éch appen t à beaucoup des méthodes de l'Analyse. Ainsi il n'existe pas pour k et k' de développement suivant les puissances de eu, et, si l'on fait w z= cuq -f- A pour pouvoir employer la série de Taylor, voici encore ce que l'on doit remarquer. Les quantités k et k' sont déterminables par la résolution d'une équation algébrique à coefficients rationnels, pour une infinité de valeurs de c», telles que

A, B, c étant entiers, et B essentiellement positif; mais, si

en-

remploi de ces valeurs initiales donne pour premier terme des séries une simple irrationnelle numérique, les termes suivants sont nécessairement des transcendantes.

Ainsi, par exemple, pour wo=^/, on a A:-r= —^f k':=^ -->

et si Ton prend tu = i-\- h, l'intégrale J ir^ / -^.^^

trera dans tous les coefficients des développements de /' et A', suivant les puissances croissantes de h. Nous remarquerons cependant qu^en posant

a> -r- i aJ*

on obtient des séries dont les coefficients sont commensurables, à savoir :

On en lire

puis, en remplaçant w par , ce qui revient à changer

î en -- «Ç,

lôA-U* 4 ' ^' ^i5' i5^ 17^^^

Soit enfin

nous aurons encore

mais ces divers développements n^exislent qu^en supposant le module de ; moindre que — •

i;égalité

qui est mise en évidence au moyen des séries en £, justifie les dénominations de module et de son complément données à A' et k'. Elle se démontre en supposant j: = K, dans la relation précédemment obtenue

et se rappelant qu'on a

e(K) = ei(o)

H(K) = Hi(o).

11 en résulte celte relation entre les séries infinies,

= (1 -T- iq -^ 1kg'' -h 2q^ -h 2<7*«-+- ...)*»

à laquelle je m'arrêterai un moment, afin d'en donner la signification.

Culer a fait la remarque importante et féconde que, en posant

(/i = o, iti, iha, ...), le carré de cette suite s^exprime par la somme

où Ton prend

Ai'= 0, ±1, =h a.

Far conséquent, un même terme g^ se présente autant de

fois qu'on trouve

et a pour coefficient le nombre des solutions de Téquation

où .r et y seront des entiers positifs ou négatifs. Le cube et la quatrième puissance de la même série donneront pareillement, comme coefficient de ^^, le nombre de solutions des équations

et

X^ -Jf- yt ^ Z^ -^ U'^ = N,

pour des valeurs entières positives ou négatives des indéterminées.

Nous pouvons donc écrire, en désignant par (N) le nombre de ces solutions de la seconde égalité,

On en conclut, si Ton change le signe de ^,

de sorte que la différence des quatrièmes puissances a pour expression

OÙ M parcourt la série des nombres impairs. Cela étant,

j'écris

et j'observe que dans la quatrième puissance de cette nouvelle série le coefficient d'une puissance quelconque q^ sera le nombre des solutions de l'équation suivante

OÙ m, m', mJ'j mT sont des entiers impairs et positifs. Leurs carrés étant ^^ i ( mod 8 ), on voit que N est un entier impair; désignons-le par M et représentons par [M] le nombre des solutions de Téquation

rp* -4- j^* -+- ^* -h a* = 4 M ,

où les indéterminées sont des entiers impairs et positifs, on aura

La relation entre les quatrièmes puissances des séries infinies revientdonc au théorème arithmétique exprimé par l'égalité (M) :=: 8 [M], qu'on peut établir directement au moyen de considérations élémentaires.

Nous ne quitterons pas ce sujet sans compléter ce qui concerne la définition même de k et k\ dont nous avons obtenu les racines carrées comme fonctions uniformes et bien déterminées de co.

D'autres expressions de ces quantités, qui s'offrent d'ellesmêmes, comme on va le voir, mettent en évidence que les racines quatrièmes sont aussi des fonctions uniformes et holomorphes. Rappelons dans ce but le résultat établi page 772, qu'en prenant

on a les formules e(- ~\ — k(\—7,q cos2ar-l-5r»)(i — 2çr3cos2ar-+-^V)).. .,

H ( ) — S.,iy q %\xix {\ — agr»cos2a7-f- q^)

X (l — 2 gr* ces 20? -4- y*). . .,

Hi [ -- - ) = h.,%y q cos.r(i-4-2 5'2cos2a7 -^q^\

Supposons a7=n o, et soit, pour abréger,

P = (I -H qi)(i -+- q^){l -4- g«)

Q = (l-^)(l-gr»)(i-5r«)..., R-(l-i-5r)(i-f-^»)(l+.gr»)...,

on en conclut ainsi

Hi(o) = 2t^^AP«, e(o) = AQ«, e,(o) = AR2

et, par conséquent.

Ces nouvelles expressions sont uniformes si on les considère par rapport à la variable eu, puisqu'on peut écrire

\fq nr e ** ; j'ajoute qu'elles sont holomorphes. Employons en efTet la relation suivante donnée par Euler

on voit qu'elle revient à celle-ci

<.• . ^<\^-^<<f''*' ( -sv;/* >

PR= Tt V\ r .. :/... ',,\IL,, .*. î

O" Plutôt T. ^ ^ , . . : -,

et nous en concluons sous forme entière

Enfin remarquons que la racine douzième de kk' est elle-même holomorphe, les équations précédentes donnant

Il est aisé de reconnaître que les propositions établies

sur le changement de o) en — , ne pourraient avoir lieu

pour des fonctions holomorphes dans toute Fétendue du plan. C^est donc cette circonstance que k et k existent seulement dans le demi-plan, au-dessus de Taxe des abscisses, qui rend possibles des propriétés analytiques entièrement nouvelles et du plus haut intérêt pour TAnalyse , qui ont conduit M. Poincaré à sa belle et grande découverte des fonctions fuchsiennes.

Aux diverses formules que nous venons de donner nous joindrons les suivantes, dues à Jacobi,

iq^ -t- 2^* — iq

Les lois de ces séries sont données par ces expressions où le signe \] s'étend à toutes les valeurs de l'indice n de — 00 à -+-00, savoir

=^yq

gkn* f-Sii

^►^ gin*-hn

DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 798

et

Vk = s/lVq

^qm^+n

En second lieu, et pour le complément du module, on a

y«-yS

-+-yi»-+-...

-ay

-ay'-+- ay" — . . .

iq^

- 2y^*4- ay"— . ..

ay*