Définition de snj?, cn^, diur. Équations
différentielles .
Posons
^ e(ar)
Les relations algébriques obtenues précédemment et qui sont homogènes par rapport aux quatre fonctions donneront
tt« -f- p« = I ,
A:» m' -h frp> = I .
La première conduit à représenter u par un sinus, r par un cosinus; c^est ce qu^a fait Jacobi, en écrivant
u = sin am(a7), V = cosam(ar).
L'illustre géomètre, consacrant une notation dont Legendre
DBS PONGTIOIIS BLLlPTlQUBS. 796
a fait usage, pose aussi ^ = Aam(a;); actuellement on emploie de préférence, et nous adopterons les désignations abrégées de Gudermann,
u = snXj
V = cna?,
w = dnor.
La première de ces trois fonctions est impaire, les deux autres sont paires, et Ton voit, diaprés les valeurs
p __ e(o) jTi e(o)
Hâ^y »^*'-ëû^)*
qu^elles sont égales à Tunité pour ^=10.
Cela étant, les relations fondamentales qui ont été établies pour les fonctions de Jacobi, lorsqu'on change a? en j? 4- 2 K et ^ -h 2fK', puis en a?-HK et ^-h iK' (p. 768), donnent les propriétés suivantes des fonctions que nous venons de
définir
sn (a? -+- 2 K) = — sna?,
cn(a?-i-2K) =— cnar, dn (a: -h a K ) = H- dna? ; sn(a7-+-2tK') =-4- snx, en (a? -hiiK!) = — cna?, dn[x -hiiK') = H-dna7;
- ... CTiOP
sn(^-HK)=4-g^,
, ... k'snx
cn(j?-+-K)= j ,
dnar
dn(a?H- K) =-*- t — ;
sn (a? -H iK') = -h -, >
cn(a?-i- tK ) =— j j
A:sna?
dn(ar-4-iK') = ---'^;
sna? '
et
^ kcnx
cn(a?-+-K + «K') =— 7 ,
kcnx
dn (x H- K-+- iK') = h — ; •
Voici maintenant comment s^obtiennent les équations différentielles d^une grande importance, qui vont nous donner une définition nouvelle des trois fonctions doublement périodiques, sn J7, cn^ et dno;.
Considérons à cet effet la dérivée de c/, à savoir
du j l^'{x)%{x)—l{{x)%\x) ^(x) dx" yjk' e«(^) "" ©'(^)'
Cette dérivée, comme la fonction elle-même, admet la période Q iK' et ne fait que changer de signe lorsqu'on change j? en j? + aK; ayant donc pour le numérateur la valeur
on tirera immédiatement des relations
e«(a?-4-aK) = e«(a?), e>(j? -h 2iK') = e>(a?)c " K
auxquelles donne lieu le dénominateur, celles-ci
4>(aî-+-2K) = — 4» (a?),
— J— (x-f-iK')
4>(a? -4- 2iK') = <t»(a?)c ^
Or, diaprés ce qui a été précédemment établi (p. 782 et 788), on a
*(a?) = ai*i(a7)-+-aj4>8(a?) = ae(iF)H(a?)-+-a,ei(a?)H|(ar),
a et «1 désignant des constantes. Observons maintenant que u change de signe avec a?, la dérivée -7- est donc une fonc-
DBS FONCTIONS KLLIPTIQUBS. 797
tioD paire, par conséquent la partie impaire aB{x)îi{a:) doit disparaître; ainsi a=: o, et Ton a simplement
En divisant par 6*(^) et faisant
il viendra
du ,
-T- = g eux dnx
Cette constante g représente, puisque la fonction u s^évanojuit avec x, la limite du rapport pour x r=io\
on a donc g-=r. ~- -rrr-r » O" bien, d'après la valeur du module,
H'(o)ei(o) ^ H,(o)e(o)'
Or la formule
= A.2V^g'sina?(i — a^'cosaar-t- ^*)(i — 2 y* ces 2a? -4-^*) donne immédiatement
-^ir(o)-2v/^A»
et l'on trouve ensuite
Ht(o) e(o) = 2t/^A«P«Q« = ^Vq ^ comme conséquence des équations
H,(o) = 2t^^AP«,
e(o) = AQV
[| vient donc, en divisant membre à membre,
puis, en emploj'ant l'eitpreasion de AR', obtenue page 79 1
et nous en concluons que la constante g est donnée par la formule suivante
III. — Inversion de l'intégrale elliptique de première espèce.
Ce point important repose sur la considération du cas particulier où les quantités K et K' sont supposées réellES, qui doit appeler notre attention. 11 en est de mâme alors
de 7 ^=^ e ** , du module et de son complémenl, qui sont moindres que l'unité, d'après la condition A'+A-"^i. ËnRn les fonctions sn.r, en x, Aax sont aussi réelles et moindres que l'unité pour toutes les valeuis réelles de la variable, en vertu des égalités
Mais elles peuvent dépasser ces limites, si l'on introduit un argument imaginaire, comme nous allons le montrer en considérant sn^.
Je prends successivement, avec les variables réelles t, croissant de zéro à K, et s, de zéro à K',
Dans le premier cas, sno? varie de zéro à Tunité; la formule
sn(a7-HK)=-
' cna?
donne, en effet,
sn(K) = i pour j? = o.
On voit aussi que la dérivée
Y^x sn^ = ^ en dnor, dont la valeur initiale est la constante positive g =: — ^^
{voir p, 797)f ne change point de signe entre les limites a; == o, ^ = K. Elle ne peut effectivement s'annuler, comme le montre Texpression
\/kb^{x) qu'en faisant
Ht(a7) = o ou 0j(:p) = o»
c'est-à-dire
a? = ( 2 wi -H i) K -4- a n« K',
X — (ti/n ■+- i)K -H (2/1 -H i)îK',
et aucune de ces quantités n'est comprise dans l'intervalle considéré, sauf la valeur j? =z K représentant précisément la limite supérieure. La fonction snx varie donc en croissant de zéro à l'unité.
Nous emploierons, dans le second cas, la formule
,, . . cn(w) sn(K-r- w) = . ] . ;
elle montre que le premier membre est une quantité réelle^ le numérateur et le dénominateur étant des fonctions paires de la variable. L'égalité
cna? __ I Hj (a?) s. — Cale. int. 5j*
800 NOTE SUH LA THËORIG
fait voir ensuite qu'il est toujours fini, les p6les étant donnés par l'équation
ce qui exige que s soit imaginaire.
A la limite supérieure, on a
..(K + .K')=1, d'après la relation
^ ' kinx
en y faisant x^K. Enfin on prouverait, comme loul à l'heure, que la dérivée
conserve le même signe et s'annule seulement pour s =10. Il est ainsi démontré que sn;r croit de l'unité à t< lorsque la variable prend les valeurs imaginaires représentées par l'expression
x = K-i- is\
Le dernier cas à considérer repose sur la formule
sn(K^.'K'^0=n^^
in(K + (K'+() =
mtK-0
Elle montre que, t variant de zéro à K, te dénominateur sn(K~() reproduit, dans l'ordre inverse, la suite des valeurs de snt; il en résulte que sox parcourt alors l'intervalle compris (le v à l'infini.
Ce» résultats établis, je reviens, pour en tirer les conséquences auxquelles ils conduisent, à l'équation différentielle
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8oi
et à Texpression qui en résulte
du '
gyji^i—u^)i^i — k^u^)
Nous venons de voir qu'en faisant croître u de zéro à Tunité, X varie de zéro à K; on a donc
du
Le second intervalle, s'étendant de Tunilé à t> donne
ensuite
du
et, en dernier lieu, nous trouvons
du
mais cette seconde expression de K revient à la première par un changement de variable qui consiste à remplacer,
dans rintégrale, u par -r- •
fîU
Les quantités K et K' étant ain^i exprimées au moyen des constantes g et /r, nous pouvons former la fonction «znsnoravec les seuls éléments quh- entrent dans l'équation
^ r" du
C'est ce qui donne la solution du problème de l'inversion de l'intégrale elliptique que nous nous sommes proposé d'obtenir. Mais ce résultat n'a été établi que dans la supposition du modèle k réel et moindre que l'unité, qui suffît pour les principales applications de la théorie des fonc-
8o2 NOTE SUR LA THfiORIE
lions elliptiques. D^autres principes , appartenant à la théorie générale des fonctions, sont nécessaires pour iraiter le problème dans le cas du module imaginaire, et je ne Faborderai point dans cette Note. En restant dans le cas spécial qui a été considéré, nous ferons ^' = i; nous particulariserons ainsi les quantités K et K', qui seront désormais
On obtiendra, par suite, la relation
-- = ef (o),
et nous observerons que, Téquation différentielle entre u
et X devenant
du
^=V/'(i-a«)(i-A:»tt«),
le rapport sera égal à Tunité pour a? 3= o, ce qui rap-
proche, en un point essentiel, le sinus d^amplitude du sinus trigonométrique.
Nous ajouterons enfin les remarques suivantes sur K et K'.
Je dis, en premier lieu, qu^on obtient, par une transformation facile.
Qu'on fasse, en effet, tt*z= Ç dans Tintégrale
/•* du
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8o3
OD aura d^abord
Soit ensuite
de manière à obtenir pour limites zéro et Tunité, nous trouverons la transformée
ce qui donne le résultat annoncé, en remplaçant ^ par u*. Ces quantités K et K', considérées comme fonctions du module, vérifient la même équation linéaire du second ordre
dont rintégrale, avec deux constantes arbitraires C et C, est par suite
^ = CK-hG'IC.
Soit, enfin,
et Sn la somme finie des n + i premiers termes
S„=i-f-(-) ^*-^(~7 k^-^,,.-hl ,— ) A-»«,
on a, sous forme de séries, les expressions suivantes : K'= -S, K'=Slog|-{S-i)-32(s S.)-5^(S-S,)-....
8o4 NOTB SUR LA THÉORIE
Addition des arguments. Théorème d'Abef,
C'est Euler qui a donné, le premier, les formules pour exprimer sn(a -\- b), cn{a -+- b), dn{a 4- 6), au moyen des fondions semblables relatives aux arguments a et 6, et cette importante découverte a été le point de départ et la base des travaux qui ont fondé la théorie des fonctions elliptiques, de même à peu près qu'en Trigonométrie élémentaire on est parvenu aux propriétés analytiques du sinus et du cosinus en partant des relations qui donnent le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, en fonction des sinus et cosinus de ces arcs. L'illustre analyste, par une divination restée célèbre dans l'histoire de la Science, obtint sous forme algébrique l'intégrale générale de l'équation
Or ce résultat revient exactement à l'expression du sinus d'amplitude de la somme de deux arguments, comme nous allons le montrer. Effectivement, en désignant par C la constante arbitraire, l'intégrale est
ar v/( i — j ^ ) ( I - k^y^ ) -H ^ v/( 1 — x« ) (I ~ ^'> xM (2) c =-. V—A^ï^^t
Mais, si l'on fait
a: = sna,
y =s snb,
l'équation (i), réduite à la forme
da ~h db -=^ 0,
donne immédiatement
Voici donc, sous deux formes différentes, la solution d'une même équation différentielle, et l'on devra passer de l'une
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8o5
à l^autre en établissant la relation qui lie les deux constantes arbitraires. Je remarque, à cet effet, que c est évidemment la valeur de a pour 6 = 0, et, si Toi^ fait semblablement 6 =: o et, par suite, /=:o dans Téquation (a), elle donne C =r j? :rz sn «r. La relation entre les constantes est donc
C = snc.
Ainsi la valeur de C en a? et j)^ donne précisément la détermination de sn(a-i-6) en fonction algébrique de sna et de sn^. La Géométrie fournit aussi plusieurs méthodes extrêmement intéressantes pour parvenir à ce même résultat; ne pouvant ici les indiquer, nous nous bornons à donner, sous sa forme analytique si remarquable, le théorème découvert par Abel pour Taddition d'un nombre quelconque d'arguments.
L — Théorème d'AbeL
Les fonctions sn^, cn:r, dn^ se reproduisent, au signe près, lorsqu'on change x en a:-+-2K et j7-f-2«K'; leurs carrés admettent donc pour périodes 2K et ?. iK', et il en sera de même du polynôme entier
çp(3) = Ao-+- Ai-3«-l-. . .-f- Art-3*«,
où z désigne indifféremment ^nx, cnj7, dn^. Soit encore
^{z) = Bi ^ -4- B,;!»-!-. . .-h B„-,^««-3,
l'expression suivante
nous donnera, dans les trois cas,
F(ar-h2K) = F(a:), F(a?-f-2tK') = F(a7),
8o6 NOTE SUR LK THÉORIE
puisque le facteur -sD^^, c'esl-à-dire la demi-dérivée de 5* par rapport à J7, a les périodes de 5*. Cela étant, je remplace z par |on expression fractionnaire contenant 6(j?) en dénominateur, et j'écris
On aura, comme conséquence des relations
e«'»(a?-haK) =e««(a7),
e««(a?-4-2iK') = e«''(ar)e *^ les égalités de même forme
îmir, „,..
Elles ont été précédemment considérées (p. 768), en prenant a = 2K, b—-- 21K', A" = 2/1, et il a été établi qu'on y satisfait de la manière la plus générale par une fonction entière, contenant sous forme linéaire 2/1 constantes arbitraires. Le numérateur de l'expression de F(j:) donne donc aussi la solution la plus générale, les polynômes ^{z) et ^(z) renfermant 2/1 coefficients indéterminés. Mais voici encore une autre manière de Tobtenir.
Je considère, en y changeant x en x — a, les équations qui définissent la fonction H(^); elles deviennent ainsi
H(:r — a-f-2iK')= — H{x — a)e * On en conclut qu'en posant *(ir) = AH(a7 — a)H(:r — ô)...H(a7-~^)H(ar — A), oiï a, by . . ., ^, h sont 2/1 constantes telles qu'on ait
a -^- b -^. . ,-h g -h h =z Of et A un facteur arbitraire, on obtiendra, comme tout à
DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 807
l'heure,
^"'""(x^iK')
Nous pouvons écrire, par conséquent,
AU(x — a)U(x — b)...U(x—ff)U(x--h)
en mettant en évidence les solutions de l'équation F(a7) = o, puisque les facteurs H {a: — a), ll{a: — b), ... s'annulent pour x^za, by .... Voici les conséquences qui résultent de cette égalité remarquable.
Les polynômes ©(2) et "^{z) introduisent, sous forme homogène, 2/1 coefficients; on pourra, après avoir fait A„=: I, les déterminer par les 2/1 — i égalités :
Cela fait, nous aurons, en plus, F(j:) = o pour 071=^, c'est-à-dire
X = — (aH-6-4-...-F^).
Or le produit
donne, dans les trois cas que nous avons à considérer, un polynôme entier du degré ^n, ne renfermant que des puissances paires de z; car on a successivement, pour
z = sn^, (D^z)«= (i-4s«)(i- X:«>3«), z = cn^r, {\>x^y --= (i — -s*) (^*-^ A:'»^»), z=dnx, {Djcz)^=:{i — z^){z*—k'^).
Dans le premier, ce polynôme, décomposé en facteurs, sera donc
(5«— sn«a) {>««— sn^ô). . .(5*— sn«^)[z*— sn«(aH- b-{-,. .-hg)];
dans le second,
(^>— cn«a)(5* — cn>6). . .(s«— -cn«^) [z* — cn«(a-+-6H-. . .-h^)]»
8o8 NOTE SUR LA THÉORIE
et enfin, dans le troisième,
(^«— dn2a)(z»— dn«6)...(>32__dnî^)[iî?— dn2(a-T-6-i-...4-^)].
Le théorème d'Abel est la conséquence des identités que nous venons d'obtenir.
Désignons, en effet, suivant les trois cas, par L*, M*, N* le terme indépendant de ;;, dans le polynôme
on aura, en faisant ^:=o et posant e = dti, les relations suivantes :
sn(a — o — . . ,-^ g) —
cn(a-r-ô-r-...-H^j — dn(a^- 6 -4-.. .-H^) —
sna sn6. . .sn^ç
cna cn6. . .cq^
êN dna dn6. . .dn^
Ce sont les formules pour Taddition des arguments dans les fonctions sn^, cna:, dnj;; leur caractère analytique découle des équations que nous avons posées
Ces égalités déterminent les coefficients, par des fonctions rationnelles dans le premier cas, de
sna,
sne>,
sn^,
en a dna,
on 6 dn6f
cn^dn^;
dans le second, de
cna,
cn6,
cn^,
sna dna,
snb Anb,
sn g dn g.
et, dans le dernier, d
dna.
dn6.
dn<f,
sna cna,
sn6 en 6,
sn^cn^.
Quant au double signe représenté par le facteur e, il
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 809
suffira, pour l^obtenir, de considérer un cas particulier; nous allons en donner un exemple.
