II. — Formules pour L'addition de deux arguments

Nous appliquerons les résultats qui précèdent en prenant /zrz=2; on aura ainsi trois arguments a, b^ c; nous supposerons le dernier égal à zéro, et nous ferons

F(a?) = (Ao-f- Ai-s'-^^'O'— B-3D^>8.

On remarquera alors que, pour z . - sn j?, Téqualion fondamentale a cette forme

= ^«(.5»— 8n«a)(^î— sn>6)[.5î— sn5(a-+-6)],

de sorte qu'on doit déjà poser AqZizo. Supprimant, dans les deux membres, le facteur ^*, et posant ensuite ^ -::o, nous obtiendrons

sn(a -+- 6) = j '

snasn6

Cela posé, les égalités F(a) — o, F(^)m o deviennent

sn'a -h Ajsna -hB cna dna = o,

sn»6 -f- Aisn6 -h B cnô ànb = o, d'où

B sn*^ — sn^b

snasnb snacn6dn6 — sn^cnadna

valeur qui se réduit à sna pour b :- o, de sorte qu'il faut prendre & = i. Il vient ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction par snacn^dn6 4- sn6 cnadna, et supprimant haut et bas le facteur sn^a — sn'6

. ,, fin a en h dnb -^ fin b en a an a sn(a -h É>) — — j- — -y

En supposant ensuite 5 r^ cno:, et -s:== dnj:, l'équation

^*-H A|5*-h Ao-H BzDxZ — o

8lO AOTE SUK LA THtOIIE

admet la racine s :^ i, qui répond au troisième argument supposé nul. Or doit donc faire

ce qui conduit, pour z =^ cn^, aux égalités cn»a -4- G -t. B ■""''"- = o,

de même pour s = dn x, on aura les relations toutes sem~ h labiés

dna ~ '

dno

Un calcul entièrement analogue â celui qui concerne le sinus donne les e:ipressions suivantes

cnacnft-snasné

dnadnA

l-A'sn'«s drfldn*-*'sn«

n'6 nAcnacni

dn(a + 6) =

Les trois formulesquenous venons d'établir sont nommées Tondamentales à juste titre, car elles suffisent pour définir snar, cna;, dnx comme fonctions uniformes de la variable. On peut voir, dans les premiers Mémoires d'Abel et postérieurement dans ceux de Gudermann, l'un des meilleurs auteurs qui aient écrit sur la théorie des fonctions elliptiques, comment elles donnent la double périodicité, puis les valeurs desn(mx), cn(mx),dn(ma:), oiimest un

DES rOIfCTIONS ELLIPTIQUES. 8ri

nombre entier quelconque, d'où se tirent en remplaçant x par — et faisant croître indéfiniment Tentier m, les expressions sous forme de quotients, que nous avons prises pour point de départ, avec la notion analytique des fonctions 6(â7), H(j7), .... Nous y joindrons les suivantes, qui s'en déduisent en changeant le signe de h^ à savoir

sn a en 6 sn 6 — sn 6 en a dn a 1 — X:*sn'a sn'6

en a sn 6 -4- sn a sn 6 dn a dn ô

I — A:*sn'a sn'6

dna dn6 -f- X**snasn6 en a en 6 I — A:*^sn*asn'6

On en conclut par voie d'addition et de soustraction

,. . ,. t%snacn6dn^ sn(aH-6)-+- sn(a — è)= — — rr — -^ rr>

cn(a-ho)-4-cn(a— 6)= j-z — -7 •

, . , . 2dnadn6 dn(a-H6)-T- dn(a — 6)= -7^ — , — r .

,. , ,. 2sn6cnadna sn(a-+-6)- sn(a— 6)= ---^^^,

F , ,. , ,, 9.sna dna sn6 dn6 { cn(a — 6)— cn(aH-6) = j- — -=— ,

, , .NI/ .s aA:*sna ena snô cn6 dn(a — 6)— dn(a-h 6)= ,- — -, — .

Je ne mentionnerai pas, afin d'abréger, un grand nombre d'autres résultats intéressants qui découlent des formules fondamentales; mais j'indiqueraicommentlestroisdernières relations, en y faisant a -^hziz x^ a — hr=.\^ conduisent à obtenir les racines des équations

sno; = sn(, cnar = cnÇ, dnj7 = dn^.

HOTE SUR Là TBtOHIE

Kn coDsidérant d'abord le premier cas, on reconnaît, par l'égalité

que les solutions cliercliées s'obtiendront en posant

puis

Nous en concluons, d'après les formules de la page 769 i|u donnent les racines des équations

e(ir)-o, H(a-) = o, e,(ar)= o, H,(t)= »,

les valeurs suivantes

oii m et n sont deux nombres entiers quelconques. De même pour

on obtiendra

enfin les solutions de l'équation

DES FONCTIOXS ELLIPTIQUES. 8l3

seront

ar = 2 m K -f- 4 niK' r^ Ç.

Nous remarquerons, à Tégard de ces formules, une circonstance qui est immédiatement en évidence dans celles où S est affecté du double signe : c'est qu^en faisant décroître cette quantité, les racines tendent à devenir égales deux à deux. Soit ensuite Ç =: K 4- to, puis S izr K 4- îK' -1- to, dans chacune des relations

X — i 771 K -4- 2 ne K' -+- ^,

ar = (4'n4-2)K-4-2 niK' — Ç ;

nous aurons en premier lieu les quantités

a? = (4 m -»- 1) K -h 2/ieK'-f- to, X = ( 4 /n -M ) K H- 2 Tit K' — oi,

qui coïncident pour w 1= o. On trouve après

X = (im -+-i)K-}-(2/i-f- \)iK'-{- w, X = (4/nH-i)K-+-(2n — i)tK' — co,

expressions qui deviennent encore égales, car on peut dans la dernière remplacer n par /i-f-i. Nous reconnaissons ainsi que les solutions des diverses équations

sna? = i, ar = (4/w -4- i)K -4- 2/itK',

X = (im-+- j)K -i-(2n-4-i)/K',

ar = 4mK -4- 4ntK'

= (4/n-h2)K-h(4«-+- 2)tK', X = 2mK-h iniK'

sont toutes des racines doubles, et si Ton remplace a: par ^ -f- 2K ou par X -h liK'y on a le même résultat, pour les équations dont les seconds membres sont changés de signe.