CHAPITRE I. Sx

Si n est positif, on a, en posant x ^ = f «

C ndx ^ n^ dt r-

I —-, i = V'' / r = i//iarctang^,

I , /i + x Jn / r-\

Si, au contraire, n est négatif, on posera x ^ — n = ï, et l'on aura

d'où

«,= i log 4/I±I îEf log i /αZ^.

Pour avoir la valeur de w dans le cas de n = — i, il suffit de prendre la dérivée de l'expression

par rapport à n, et d'y faire ensuite n=z — i (n®124.) On trouve ainsi

«» = -7 log 1 —

438. Les trois fonctions elliptiques u, (^, w prennent une forme très-simple quand on introduit l'angle qui a pour sinus la variable indépendante x ; si l'on fait

or = sinf , ^1 — x* =: cos^, et que l'on pose, en outre.

Af = ^1 — X'sin'y,

5a CALCUL INTÉGBAL.

on aura

Jr^diD r^sm^odf r d» I -i, p= I — ^j:, ^=: f i^ — .

Considérons particulièrement l'intégrale de première espèce. L'angle f est dit V amplitude de u, et Ton écrit

f = amif; on a par suite

x=siQamtt, ^i — x* =:cosami/, ^i — /'x' =: A amii.

La variable u a été regardée jusqu'à présent comme une fonction de x ; mais, si l'on prend maintenant u pour

variable indépendante, x, y^i — x^ et \[r—k^x^ ou, ce qui revient au même, sinamu, cosamu, Z^amu deviendront des fonctionsdeu. Ces fonctions remarquables, sur lesquelles nous reviendrons plus loin, doivent être regardées comme \e% fonctions elliptiques directes ou principales ; elles sont à l'égard de l'intégrale, dont elles dérivent, ce que sont les fonctions circulaires sinu, cosii, relativement aux fonctions inverses arcsinx, arccosx. Quand on prend u pour variable indépendante, les intégrales elliptiques de deuxième et de troisième espèce

ont pour expressions, à cause de -p- r= du^

v= I sinrSLmudu, w= \ v-i •

J^ J I -f- /i sm* am u

Des différentielles binômes.

439. Parmi les différentielles algébriques, on doit remarquer celles auxquelles on a donné le nom de différent tielles binômes et qui se présentent très-fréquemment.