CH4PITRE I
La forme générale de ces diiTérentielles est
a cl h désignant des constantes données et m, riy p des exposants rationnels.
On peut supposer n positif; car la différentielle proposée peut être mise sous la forme
qui ne dlDfère de la première qu'en ce que l'exposant de X, dans la parenthèse, est changé de signe.
En outre y on peut supposer que m et n sont entiers ; car, s'ils sont fractionnaires, on les réduira à un dénominateur commun r, et l'on posera
la différentielle proposée devient, par cette substitution,
rr«'-+'--» (a -4- ^f «'■)£//;
elle a conservé sa forme primitive, mais les deux exposants de la variable sont adXuellement des entiers.
D'après cela, nous supposerons que m et n sont deux entiers dont le second est positif; quant à l'exposant p, il peut être un nombre rationnel quelconque.
440. Des cas d'intégrabilité. — Lorsque l'exposant/? est entier, la différentielle binôme
(i) dy = 0?'» (fl -+- bx'')Pdx
est rationnelle, et, en conséquence, elle est intégrable
par les fonctions algébriques et logarithmiques. Il existe
deux autres cas à^intégrabiUté ; on peut immédiatement
constater ce fait au moyen de la méthode de substitution.
Posons
a 4- bx" == t.
S4 CALCUL inTËGRAL.
d'où
il viendra
et cette différentielle deviendra rationnelle par la substitution t = z''f où r désigne le dénominateur de p, si Ton a
( a) = entier.
De plus, nous avons vu plus haut que la différentielle dV ne change pas quand on permute les lettres a, i,et que Ton remplace m et n respectivement par m-^np
et — Uy ce qui change en ^ donc on
pourra encore ramener cette différentielle à la forme rationnelle, si Ton a
( o 1 hp = entier.
Lorsque l'une des conditions ( a ) et ( 3 ) est remplie, l'intégrale de la différentielle dV est exprimable par les fonctions algébriques et logarithmiques. 11 faut remarquer que les conditions (a) et (3) s'excluent mutuellement, lorsque p est un nombre fractionnaire.
Réduction de l'intégrale d'une différentielle binôme.
441. Dans les deux cas d'intégrabilité dont il vient d'être question, l'intégration d'une différentielle binôme peut être effectuée au moyen d'une substitution propre à rendre la différentielle rationnelle ; mais on peut aussi
GHÀPITIIB I. 55
parvenir au même résultat par ua emploi convenable du procédé de l'intégration par parties. En outre , quand il s'agit d'une différentielle binôme qui ne rentre pas dans l'un des deux cas que nous venons de rappeler, il y a lieu de chercher à opérer la réduction de son intégralcy c'est-à-dire de chercher à ramener cette intégrale aux types les plus simples, et c'est à quoi l'on parvient au moyen du procédé que nous allons développer. Soit, comme précédemment,
la différentielle proposée, m et n étant entiers et n positif. Cette différentielle est le produit des deux facteurs
dont le deuxième est la différentielle de
elle est aussi le produit des deux facteurs dont le deuxième est la différentielle de
l'intégration par parties donnera donclesdeux formules suivantes :
( Cx^{a
bx'^)Pdx
~ [p-^\]nb (p^i)nbj ^ '
I x^ {a -{- bx'^)Pdx 3^-1 > --TTT 1 1 I x*""^" la -f- bx'^Y'^dXj
par lesquelles l'intégrale proposée est ramenée à une autre de même forme, et qui n'en diflFère qu'en ce que les exposants m et p sont remplacés respectivement par m — /i et p -h I , ou par m H- 72 etp — i . Ily aura une réduction obtenue si les nouveaux exposants sont tous les deux plus simples que les exposants primitifs ; au contraire, la transformation n'offrira pas d'avantage si, en simplifiant l'un des exposants, on a élevé le second. Mais on peut obtenir d'autres formules qui conviennent à tous les cas. L'intégrale qui figure dans le second membre de la formule (i) est égale à
de même, si 1 on écrit — ^ ; — r au heu de
jrm+n dans l'intégrale du second membre de la formule (2) , il viendra
lx'^'^{a-\'bx'')Pdx
Ces valeurs ayant été substituées dans les formules (i) et (2), celles-ci nous donneront les deux expressions suivantes de l'intégrale proposée :
iw-f-i-h/y WH-IH- np J ^ • '
