I -^ qU—m I |« qm—M
Les secondes, en mettant — m à la place de m, à celle-ci,
^ \l-\-g-'"^ "" I -i- yM-f-m J "" ^ \ I -i- y'» 1 -h qU-i-mJ '
de sorte qu'il reste la quantité suivante
Mais, à partir de m riz 2 M -4- i , tous les termes de la première somme sont donnés par la seconde en signes contraires, et disparaissent. Ainsi il ne subsiste plus qu'une série finie
m=2ll — 1 m=z\
que nous décomposerons comme il suit, en isolant le terme moyen, savoir
m = M — î m^JM — 1
jk^ ï-hq'"-^ 2 jhd 1-t-y
m = l w = MH-t
Or, en remplaçant —-^'^^ P^^ i-^q^-"^' ** première somme est
1 H r -4- ... -h jî — 7 y
i-h y» IH- y* I -+- 7""*
et ces divers termes, respectivement ajoutés à ceux de la seconde, savoir
IH- y* IH- y* I -t- y* *
donneront autant de fois l'unité qu'il y a de termes, c'est-àdire — ^^ ; joignant à cela la fraction - qui correspond au
892 NOTK sut LA THÉORIE
terme du milieu, il vient en définitive — | =1 —, ce
qui est bien le résultat auquel il fallait parvenir. Enfin, si
Ton suppose M négatif, on observera que l'expression que
nous avons considérée change de signe avec M, de sorte que
Jhd \ IH- y'" l-h^"-"»/"" j^Xi-hq"^ l-hq-^-"*/'
En efTet, si Ton met dans le premier membre /n-hM au lieu de m, on obtiendra identiquement le terme général de la série du second membre.
Réduction aux fonctions elliptiques des fonctions doublement périodiques ayant pour périodes 2K et 2«K'. Théorème de Liouville.
Revenons à la formule
¥{x) = C H- Fo(ar) -h D^Fi(a7)-h . . . -h DîF„(a?),
qui donne Pexpression générale des fonctions doublement périodiques; en supposant que les périodes soient aK et 2/K', on aura, avec la transcendante H(x) de Jacobi,
la sommation se rapportant aux pôles principaux, et les coefficients A/ résultant du développement
P/t.cA— ^" A, (— l)»I.O..../lA„
OÙ Ton a omis la partie entière en e.
Je me fonderai sur l'égalité suivante, qu'il est facile de démontrer,
sna: cnâ7 dnar + sn{ cn( dn^ sn*ar — sn*{
= D^ logH(:c - 5) - Dx loge(ir) - D| loge(0.
Le premier .membre a en effet pour périodes aK et at'K', ses pôles sont x ■=.% et x-=z t'K'; au premier correspond un résidu égal à i, comme on le voit immédiatement; on en conclut, sans calcul, que le second résidu est — i; nous avons, par conséquent,
sna7cna?dna?-f- sn$ cn^ dn$ sn*x — sn*5
= G-4-D;,logH(a7-0-E>*logH(ar-tK'), et plus simplement, sna?cna7dna7H-snÇcnÇdn{
sn^a? — sin{
= C-hD^logH(a7-î)~D^loge(ar).
La valeur de la constante ne nous est pas nécessaire; je remarquerai toutefois qu^elle s^obtient en faisant ^ = o, ce qui donne
'-^^|^=C-D5logH(0.
de sorte que, ayant
S^ï^ =Dçlogsnî = DçlogH(Ç)-Dçloge(î), sn;
on en conclut
G = Dçloge(Ç).
Il en résulte, pour l'élément simple, l'expression suivante
D^logH(ar-0
sna7cna:dna7-i- snÇ cnj dnj . rk 1 ^z \ r» 1 tx/t\ = sn«x-sn'\ ^+D^loge(^)-D^loge(0,
qui conduit au résultat cherché.
En premier lieu, dans la somme \^ AoD^^ logH( j? — Ç), le terme D^log8(^) disparaît, diaprés la condition
sna?cna?dna?-h snÈ cnÇ dnÇ
^ -î î -hconst.
\^Ao =: o; on a donc simplement
Fo(a?) = ^ /»o « ->.
Soit ensuite pour abréger, S/= TI^/j ^"^ faisant usage de la relation
Diloge(a^) = ^-A:*sn«ar,
nous obtenons, si nous négligeons encore une constante pour le cas de / = 1 ,
DiF/(:r)
li suffit maintenant de remarquer que Y^'^ sin' j? est un polynôme entier du degré n en sn'^ et D^""*"* sn'jr le produit par sn a? en a: dn a: d^un polynôme de même nature de degré n — i, pour en conclure le théorème de Lîouville
F(a7) =/(sn*a?) -4- snar cna7dnir/i(sn*a?),
où/(sn*^) et/i(sn*a:) sont des fonctions rationnelles de sn'^.
La nouvelle expression des fonctions doublement périodiques que nous venons d^obtenir au moyen de sn'j?, donne lieu à une remarque sur laquelle il est nécessaire d'appeler Tattention. Elle contient un pôle apparent X = iYJ ^ qui se trouve dans la relation dont nous sommes parti,
D;^logH(ar-5)
= sn'a. - J% - I>xloge(x)-Dçloge(0.
C^est sous ce rapport une imperfection qui est évitée, avec
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. SgS
les quantités Dxlog H (o? — ^); il en est encore de même en introduisant au lieu de sn'o? la fonction p{x) de M. Weierstrass, mais c^est à un autre pôle apparent, a? = o, qu'on se trouve amené.
Pour le faire voir, je tirerai de la formule
l'égalité suivante
P(^) — P(5) ~ sn5(sn»j:--sn«j] '
Décomposons le second membre en éléments simples, on obtient facilement
puis, en permutant x el^,
= DxlogH(a? — 0 — I>xIogH(a? + 0-t-^I>«logH(a7).
Nous avons par conséquent, en retranchant membre à membre,
l pS- p'(0^ =D^logH(a;-0-D»logH(^)+DslogH(S),
ce qui donne l'expression D:,logH(x-0
= Z pS-p(0 ^P-'"g»<")-P^'°g"(^)'
OÙ Ton a dans le second membre le pôle apparent a: =20.
S. — Cal. iat. 67
Cela étant et en recourant à Tégalité
on en conclut, avec la même circonstance, les nouvelles formules
Observons toutefois qu'il n^en est plus de même dans le cas particulier d'une fraction paire n'ayant que des pôles simples; on obtient alors, sans aucun pôle apparent, ces expressions
^ ^ sn*a? — sn*5
Béduction aux fonctions elliptiques des fonctions doublement périodiques ayant pour périodes !\l^etl\ t K'.
En admettant les conditions
F(ar -+- 4 K) = ¥{x), V{x H- 4«K') = F(x), nous poserons pour un moment
et nous remarquerons que Ton aura
U(x-^ 2iK)-U{x\ Ui{x -^ liK') = — Ut{x).
DBS F^ONCTIONS ELLIPTIQUES. 897
Soient ensuite,
a*o(a7) = Il(ir) -h 11(5? -h 2K),
et semblablement
2*t(ip) = ni(ar) — ni(a7-i-2K), 2*3(a?) = ni(a7)-h ni(a? -+- 2K),
nous en déduirons cette expression
où les termes du second membre satisfont aux relations suivantes :
*o(a?-H 2K) =-+-*(,(a"), *o(:^-H-aiK') = -i-*o(iF),
4>i(ir-h2K) =— *i(a?), 4>i(ar-h 21K') =-+-*t(a?),
*,(ar -h 2K) = — *,(ar), *,(a7 -4- aïK') =— *,(r),
*,(a7 -h aK) = -h *3(a?), *8(a7 -f- 2tK') = — *j(a?).
Elles montrent que ^o(^) revient à la fonction dont nous venons de nous occuper; il en est de même encore des produits
sna7*i(ar), cna?*j(ar), dna?*3(a?),
qui ont pareillement pour périodes 2K et at'K^ Nous obtenons donc immédiatement la conclusion que F(;r) s'exprime rationnellement par les fonctions elliptiques snj?, cnj? et dno:. Mais à chacune de ces trois dernières fonctions appartient un mode propre de décomposition en éléments simples d'une autre nature que la quantité Da.logH(^). C'est ce que je vais faire voir en me proposant en même temps de donner une application de ce théorème, dont j'ai signalé précédemment l'importance, que la somme des résidus d'une fonction doublement périodique correspondant à ses pôles principaux est nulle.
Je remarque dans ce but que les expressions
sn(ir — z)^i(z)^ cn(ar — ^)*j(2), dn(a? — 4s)4>j(^),
envisagées par rapport à la variable s, ont aussi pour périodes aK et 2iK\ et que les facteurs sn(a? — s), cn(j? — s), dn(ir — z) offrent un seul pôle principal qu'on obtient en posant a; — z =z iK'. Il a donc pour valeur z=.x — iYJ ^ et les résidus qui lui correspondent sont
- i*i(ar-*K'), - ^ *,(^- jK«), - \ *5(:»;-*K').
Cela étant, et en considérant par exemple la fonction 4>i(;r), on calcule comme il suit le résidu qui se rapporte à un de ses pôles, x^=.\,
Nous poserons, comme nous Tavons fait (p. 876), en négligeant la partie entière du développement,
puis
sn(a? — \ — e)
= 5D(a?— J) Darsn(a?— J)-H
DiJsn(a?— Ç)'
La quantité cherchée est le coefficient du terme en~ dans le produit des seconds membres; elle a pour valeurs
A sn(a: — J) -h AiD;cSn(a7 — O"»-- . -H- ArtD5sn(ar — J),
et le théorème que nous avons rappelé donne Tégalité suivante
-t- y^AiDxsn(a7 — 5) -*-... = o, où les sommations indiquées se rapportent à tous les
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 899
pôles principaux de la fonction. Nous avons, en conséquence,
VAiDxsn(ir--5)
2A«D2sn(x-0,
et nous en concluons la formule
et Ton voit que sn j? joue le rôle d'élément simple. Soient ensuite
on obtient semblablement
^*.(^) = ^K cos(^ - ? 4- tK') H- yA;cos(a:--5-*-tK')
2A;D2cos(a?-S + iK'),
900 NOTE SUR LA THtKORlE
et, en dernier Heu,
j^,{x) = 2^î dn(^- e -H iK')
-+- V Aï D^ dn(a7 — J -+- iK')
avec les quantités en a: etdno? comme éléments simples. Je ferai une application de ces formules en prenant
4>i(a7)= cna?dn(a7 -H a), 4>î(a7) = dna? sn(x -4- a), 4>3(a:)= sn a? en (a? -4- a).
Les pôles seront les mêmes dans les trois cas, à savoir l = tK' et ? = iK' — a; pour le premier, les résidus qui leur correspondent ont pour valeur
en a dna
- et
ksna ksna'
nous trouvons donc la relation
sna cnardnar = — cna snx -h dna sn(x -^ a),
et, d^une manière analogue, on aura
sna dniT sn(a7 H- a) = en a: — on a en (a: H- a), k^ snasnxcn{x -+- a) = dnadnâ; — dn(j?-i- a).
Ces égalités donnent facilement les expressions de sn(^4-«), cn{a: -\- a), dn(j?H-<2), auxquelles nous sommes déjà parvenus, et elles ouvrent la voie à des questions géométriques extrêmement intéressantes, mais dont je ne m'occuperai pas dans cette Note.
Je la terminerai en indiquant encore, pour les fonctions F(^) aux périodes 2K et 2«K', d'autres éléments simples
qui remplacent^ dans certains cas, la quantité D^^log H (j?). Distinguons parmi ces fonctions celles qui se reproduisent changées de signe, lorsqu^on ajoute à la variable Tune des demi-périodes t'K', K -+- f'K' et K; je les désignerai par F, (a?), Ff{x), Fj(a?), de sorte qu'on aura les relations caractéristiques
F,(XH-K-+-ÎK')=-Fj(ar),
Considérons d'abord la première, elle montre qu'on peut écrire
2Fi(^) = F,(.r)-Fi(2r-hiK'),
et observant donc que l'on a
D^ logH(a: + iK') = D.,loge(a?)- '^,
nous tirons de la formule fondamentale l'expression suivante
aF,(^)= y Ao[D;,logH(a:-0 - D^loge(x~5)] 2A,[D«logH(x-0 - Dîloge(a?-Ç)]
+ 2 A4Dr' logH(x - 0 - Dr* loge(a? - J)],
et, par conséquent,
aF,(j7)= ^ A,D, logsn(a7 — 5)
+ 2 A,D1 logsn(x-?)
2AnDr'logsn(ar — 0-
De la même manière, au moyen des égalités
D;rlogH(a7-f.K-4-tK') = Da:logei(a:)— -^ï
D;rlogH(a;-t-K) = Da:logHi(a?), on trouvera
sn(a? — 5)
sn(a7 — {)
Ces formules se simplifient si Ton change or en a; + K dans la première, et a; en a? -+- K -h t K dans la seconde. Nous avons, en effet,
sn(a? -t- K) cna?
dn(ar-+-K) "" "iF'
sn(a:-t- K-H /K') __ idii:r ^ cn(a7-hK4-eK') ~" '~~F~''
il vient, par suite,
2F,(ip-t-K)= 2 ^oD/» logcn(ar — 0
-+"2 AiD* logcn(a: — 5)
2A„Dr»logcn(a.~0
et
aF3(d?-hK-4-iK')= 2 ^oI>a: Iogdn(a7-0
+ 2 ^^^i logdn(:r-0
Les éléments simples
^ , cnâ?dna?
snx
Il Intr on t* — ^. ■
^ cna?
ï>xlogdnx=: ,^
meltent immédiatement en évidence les relations caractéristiques auxquelles satisfont les fonctions, au moyen des égalités
sn (a? -H iK') = ■= >
cn(a? -4- K 4- iK') = -i^ ,
dn(^-+-K)= -1 — ,
d^où Ton tire
D*logsn(iP -h iK') = — D;clog sna?,
Dxlogcn(a7-i-K -h iK') = — D^logcna?,
D;r logdn(a? -h K) = — Dxlogdn^.
Je remarque enfin qu^on peut rapprocher, en leur donnant une expression analytique semblable, les deux groupes de fonctions que nous venons de considérer, et obtenir pour 4>|(j?), 4>s(â?), 4>,(â?) des formules qui en donnent ainsi les intégrales d^une manière immédiate. U suffit, pour cela, de
9o4 NOTE SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
remplacer par des dérivées logarithmiques les éléments simples qui y figurent, sno*, cn:r et dnj7, en employant les relations, qui se vérifient facilement,
k sna? = Dx Iog(dniP — k cnar),
ik cnx = Dx log(dnar -h ik snar),
iànop = Dxlog(cnir-H isnx).
