IH-42A
Cg =i-+-56X:«-^
C9 — i-hy^k*-^
Gio= i-f-goA:*-!-
' 348A:*-+-448A:«-Hi28A:»,
2872^:* H- 46ooA:«H- 288oA^»-+- 5i2it*«,
45024 A:«-i- i6896A-»o-H ao48A:»»,
1 5 15368 A:* -^7694592 Ai 1 2998928 A:« -h 9 108288 ^»»
2725888A:"-h 49i52oA:»*-+- 82768 A:»«,
13623480A:* -+- 8934 8080 A:« 2iio644ooA:« -i-2i936i824A:*o-+- 100242944 A" 18450432 A:»* -h 25o6752A:««-H 131072A:»».
liJ
Sk^-r- 6A:*H-A:«,
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i28it»-h 448A:*H-348A:«-h2oA:8-hA:««,
5i2)t«-+- 288oA:*-f- 46ooA-«-i- 2372A^«-+- 3oA:io-+- ^i».
-h 5i8i6A:»-h693o8A:«04-42A:"-+-A:iS
32768 A:» -1- 491520 A:* -i- 2725888 A:« -f-9ioo288A:» -h i2998928A:»« -f- 7594592 A:»» -h i5i5368A-»*-+- 72A:««-^ A:",
4- I00242944A:» -h2i936i824A:»0H-2iio644ooA:«« -h 89348080 A:i*-+- i362348oA:«-+-9oA:»«-h Ar",
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 869
Mais les équations aux difTérences partielles ne servent pas seulement à faciliter le calcul dont nous venons de rapporter les résultats diaprés M. Weierstrass, elles donnent encore, par exemple, une vérification facile des équations suivantes, qui se rapportent au changement du module en son inverse et en son complément, à savoir :
« Al(*x,i)^ = Al(a?,*)„
A\(ix,k') =c* Al(a:,A-)„
Al(t>, A:')t=c* Al(a7,A:), A\(ix,k')t=e*Al(x,k)i.
Le second groupe de relations conduit aux expressions des fonctions de M. Weierstrass dans le cas où le module est supposé égal à Tunité. Nous avons, en effet, pour A* = 0, comme on le voit immédiatement,
k\(x) =1, Al(a?)t = sinar, Al(x)j= cosâ7, A1(:f)j= 1.
On en conclut, pour A: = i, les valeurs
Al(a:) = c * ces 127,
Al/ \ "T sin*^ Al(a7)i = e ' • — r- >
— îî
Al(ar),= e^ «.
En dernier lieu, je remarquerai qu^en employant seulement les deux premiers termes des séries, nous pouvons écrire
Al(ar) = I,
Al(a?)i = a7 g — a?»,
Al(a?). = I a?*.
Les formules Al(a?)= ;rV^ « ^^ > etc. nous donnent ,
d'autre part,
DBS FONCTIONS BLLIPTIQ0B8. 87 1
on a donc les égalités suivantes :
eî(o) l ,,
La première nous est déjà connue, la seconde conduit ^ regard de la fonction p(x) k une conséquence que nous devons indiquer.
Ayant en effet
sin'a? i
et, comme on Ta établi précédemment (p. 85a )^
sin«a7 K ' H(a;)
on voit qu'on peut écrire
d'où par conséquent
Nous remarquerons enfin qu'en employant les dérivées par rapport à q des quantités 6(0), H'(o), ..., elles
87a NOTB SUR LA THÉOftIB
prennent cette autre forme
dlo^q ~ 'Adlogq "" '
alogy !2alog^
7r«cglogHt(o) ^ ic«<flogA:K ^ j^ ^ k» diogq ^dlo^q *
alog^ 2alog^
. On en tire^ parmi beaucoup d^au très, ces relations, données pour la première fois par Jacobi et qui en découlent immédiatement, à savoir :
<flog^« ^/2k'Ky
dloQq
dlogq \ ^ /
Théorie des fonctions doublement périodiques.
Après Té tu de que nous venons de faire de fonctions doublement périodiques particulières qui nous ont conduit à Tinversion de l'intégrale elliptique, nous indiquerons succinctement les principes de la théorie générale des transcendantes uniformes à deux périodes et nous les obtiendrons comme conséquence simple et facile de l'expression donnée par Cauchy, de Fintégrale d'une fonction le long d'un contour fermé.
Le contour dont nous ferons usage est défini de la manière
0ES FONCTIONS BLUPTIQUBS. 878
suivante au moyen des périodes qui seront désignées par deux constantes quelconques, a et b.
Ayant tracé des ax.es rectangulaires dans un plan, Ox et O/, nous ferons correspondre à ces constantes les points A et B, qui pourront être supposés au-dessus de Taxe des abscisses, en changeant, comme on le peut, a en — a et 6 en — b.
Nous ferons aussi la convention que le point A sera rencontré le premier et le point B le second par Taxe Oa: tournant dans le sens direct autour de Torigine. De cette -convention résulte immédiatement que le coefficient de i
dans le rapport - est positif.
Formons maintenant le parallélogramme qui a pour deux de ses c6tés les droites OA et OB; nous désignerons par C le quatrième sommet et nous appellerons la figure OACBO le parallélogramme des périodes. Cela étant, le contour d^intégration s^obtient en menant par un point quelconque G les droites GA', GB', B'C, G'B', respectivement parallèles à OA^ OB, BG, CB. Nous pourrons ainsi faire la supposition qu'il ne rencontre aucun point de discontinuité : nous lui donnerons également le nom de parallélogramme des périodes, et Ton voit qu'en désignant par^Taffixe du point G, les quantités g-^ a, g -^ b, g '^a-\-b seront les afûxes des sommets A', B', C^ L'intégrale J d'une fonction f{z), prise le long de ce contour, s'exprime donc par la somme des quatre intégrales rectilignes
H- / f{z)dz'^ f /(z)dz,
OU encore
/g hu ^g + a-hb
f{z)dz-^ f As)dz
J^g-ha + b pg-^^
f /(ji)dz- As)dz;,
mais, ayant évidemment
f f{z)dz^ j /(z-}-a)dz,
g-^ft ^g
i /{z)dz= /(z-hb)dz,
011 peut écrire sous une forme plus simple
i [f(z)-A^'^à)]dz g
- r [Az)^/iz-^a)]dz, ^g
Désignons maintenant par S la somme des résidus correspondant aux discontinuités de la fonction /(js) qui se trouvent à Tintérieur du contour d^intégration, le théorème de Cauchy donne l'égalité
C^est de là que nous allons tirer l'expression générale des fonctions uniformes à double période, en supposant qu'elles iraient que des discontinuités polaires.
J'emploie à cet effet la fonction H(^) de Jacobi, qui est définie à un facteur constant près par les égalités
H(ar-HaK) = — H(x),
En remplaçant aK et 2iK' par a et 6, et posant
Q = c «, j'écrirai encore, afin de ne pas multiplier les notations,
H(x) = "iv^Osin îvQ'sm h 2v^Q*»sin —
DES FONCTIONS ItLLIPTIQUBS. 876
Cela étant, les relations précédentes deviendront
H(a7-4-a)= — H(ar),
et Ton en conclut celles-ci
D^logH(^ -^0) = D^logH(x),
DxIogH(a7 -h a) = D;cJogH(a7)
* Cl
Je remarque enfin que la fonction Dj.logU(a7)= -y^-j — a pour pôles les quantités
X = ma H- /i6, *
où m et /t sont des entiers quelconques. En disposant convenablement de la constante g, on pourra donc faire en sorte de n^avoir à Tintérieur du parallélogramme des périodes que le seul pôle a: = o.
Cela posé, désignons par F (2) une fonction uniforme aut périodes a et b n'ayant que des discontinuités polaires, j'appliquerai Texpression de l'intégrale J à la fonction suivante
/(^) = F(5)D,logH(:r-^).
Je remarque à cet effet que Ton a d*abord
et que la relation
Djc logH (X - 5 — 6) = D^ logH(x - ô) -h - -
donne ensuite
876 non MJm LA TBtOUI
On obtienl doDC immédialement
;^ ri-*-*
el, par conséquent, pour la somme des résidus.
aj^
F(z)dz,
quantité indépendante de x; cVst en calculant cette somme que nous allons parvenir à Texpression générale de F(x). Soit x = ( Tun quelconque des pôles de cette fonction» je pose en omettant la partie entière en t
Fa + e)=-^--4-^-»-...+ ^;^,,
OU plutôt, afin de parvenir à une formule plus simple,
int^.\ ^^ ^« ! ^ (— i)''i.a...».A,
Soit ensuite, en développant par la série de Taylor,
D;,logH(x-5-e)
= D;rlogH(ar — 0 - - DilogH(a: — 0-+-. - -
Dî+MogH(ar-0-t^--î
nous multiplierons ces deux séries, et le coefficient du terme en - donnera le résidu de /(^) correspondant au pôle considéré. On trouve ainsi la quantité
AoD;rlogH(2r~0 -h AiD«logH(a? — {)-+-• ••-^-A.«D5+» logH(ar — 0-
Aux pôles de F (^) il faut encore joindre celui qui provient
du facteur Dx^o^li{x—z)j' à savoir z=Xj en admettant, comme on peut le faire, que w soit à l'intérieur du parallélogramme des périodes.
La formule D;plogH(j: — ^)= -ut r montre que le
résidu correspondant est — i; par conséquent — F(a?)estle résidu def(z) : nous parvenons donc à Tégalité suivante
S= 2^oD;clogH(ar-0 -+.2A,DilogH(ar-0
où le signe \] se rapporte à tous les pôles de F(^) qui sont
à rintérieur du parallélogramme des périodes; nous les nommerons, pour abréger, les pâles principaux. On en conclut le résultat cherché
2A„DrnogH(a7~Oi
que j'écrirai sous la forme suivante
F(x) =— S -h Fq(x) 4- D^Fi(ar)-i-. . .-I- DSF„(a7), en posant
l^i{x) = ^XtD:,\0gli(x-^) (1=0, 1,2, ...,/l).
On a ainsi l'expression des fonctions doublement pério-
878 NOTE sua L^ THÉORIE
diques sous une forme semblable à celle des fractions rationnelles décomposées en fractions simples, et qui permet
d^obtenir immédiatement Tintégrale / F (a:) do:, La fonction Dj,.log H (j?) joue, en effet, le même rôle que la quantité -f et elle recevra dorénavant la dénomination d^élé-
ment simple.
Nous remarquerons encore que des égalités
Dor logH(a? -ha) = D;, logH(ar),
DarlogH(a:-+-Ô) = DarlogH(^)- —
on conclut
La double périodicité exige donc la condition \] Ao=:: o,
où les constantes A^ sont les résidus de F(^) qui correspondent aux pôles principaux. Bientôt on verra Timportance de cette relation, par les applications que nous en ferons; elle montre sur-le-champ qu^il n^existe pas de fonctions doublement périodiques n^ajant qu^un seul pôle simple, car elle entraîne la conséquence que le résidu correspondant serait nul, et alors Texpression se réduit à une constante. Les transcendantes elliptiques sno? cn^ dn.r ont deux pôles, sn^x a un pôle double; ce sont les fonctions doublement périodiques les plus simples. Leur caractère d'éléments analytiques fondamentaux se trouvera mis en évidence sous un nouveau point de vue, lorsque nous démontrerons la proposition de Liouville, que leurs combinaisons rationnelles donnent Texpression des fonctions doublement périodiques les plus générales. Mais auparavant, et comme première application de notre formule, nous allons en tirer leurs développements sous forme de séries simples de sinus et de cosinus.
DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 879
m. — * Développement des fonctions elliptiques en séries trigonomé triques.
Ces nouvelles expressions, d'une forme plus simple que les quotients de séries, s'en distinguent essentiellement en ce que la variable est assujettie à rester comprise dans une région limitée, entre deux parallèles à Taxe des abscisses. Au lieu d'une représentation unique, on a donc un nombre fini de développements qui, en se reproduisant à des distances égales, embrassent toute rétendue du plan. Ces formules, auxquelles conduit le théorème de Fourier, ne sont pas seulement remarquables par leur élégance et leur simplicité : on se trouve amené, par le seul fait de l'identité entre les séries et les quotients de séries, à des propositions arithmétiques d'une grande importance et dont l'intérêt s'augmente même par le lien si imprévu qui les rattache aux transcendantes de l'analyse. C'est dans le § iitO des Fundamenta qu'a été ouvert ce champ d'étude si riche et si fécond dans la théorie des fonctions elliptiques ; j'y renverrai, en me bornant à cette courte indication, et j'arrive immédiatement à mon objet.
Considérons la fonction B(^) de Jacobi, dans laquelle les quantités aK et âeK' ont été remplacées par a et 6, et où l'on a fait
ifcb
On aura sous forme de produit d'un nombre infini de facteurs
e(x) = A(i — 2Qcos^^-hQ«)(i — 2Q»C0S?^H-Q6), et de là se tire la formule
D,ioge(^)=Ç2
I — 2 Q*» CCS h O*"»
( wi = I, 3, 5, • . .).
S. — Cale, int. 56
88o NOTE SUR LA THÉORIE
Employons maintenant la relation élémentaire
Q sm
I— 2QC0S hO*
sin h Q* sin h Q^ sm h. . . ,
et soit pour un moment
on en conclut immédiatement
D, loge(x) = ^ [/(Q) sin ?^+/(Q«) sin Ç +...]. Ayant donc
nous obtenons la série suivante
Dx loge(a7) = 2- ( — :^ sm 1 -^ sm
Q' . 67car \
4itV Q'* . î/i-Tua?
= ^— 7 — >v. ■ sin
(/i = I, 2, 3, . . .) et Ton trouvera pareillement
ni ^/ \ 4icv!'( — O^Q* . a/iTcar
D;clogH(ar) = - cot h -^ V ^^^^ sm ,
, „ , . Tt^ ira? . 4it V!' (— O^Q»» . 2/11:0?
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 88l
Ces expressions ont lieu dans Tintervalle des parallèles à Taxe des abscisses menées aux distances - et de cet
axe pour les deux premières, 6 et — b pour les autres.
Je me propose maintenant de montrer comment l'expression générale des fonctions doublement périodiques, dan^ le cas des pôles simples, par la formule
F(a7) = — S-f-2AoDa:logH(:r — 0,
permet d'en tirer facilement les développements de sna% cnj7, dnx. Nous supposerons, à cet effet, le sommet G du parallélogramme des périodes à Torigine, de sorte que les pôles principaux désignés par ^ soient représentés par l'expression aa -h p6, a et ^ étant positifs et moindres que l'unité. Cela étant, en considérant en premier lieu sno?, on devra prendre a=:^Ky 6 = 2/K', et la formule générale des pôles 2/nK -h (7/14-1) «K' donnera les deux pôles principaux
de sorte que nous obtenons
sna? = — S -H Ao D^ logH Ix j
H-AiD,logH(x-^).
Mais les propriétés des fonctions de Jacobi donnent
D^logH^.T-?)=D^loge(:ir) -^^1
D:,logH(^- ^-±^) = D^loge,(^)H- ^^,
et la condition Aq 4- AJ, =z o permet d'écrire
sna? = — S -t- Ao[Dxlog8(a?) — D^ logei(ar)]. Ce coefficient A© représente le résidu de sno: qui corres-
88a NOTE SUR LÀ THÉORIB
pond à ^ =: iK'; il se tire de Tégalité sn(iK'4-e) = j
et a pour valeur -z» On trouve ensuite en faisant xz=^o que la constante S est nulle; nous avons donc
j^sna7 = [Da:loge(ar) — Déloge, (a:)].
Les développements qui viennent d'être donnés nous conduisent donc à la formule
sna7=-^- > i 7.^ sin ;
introduisons maintenant les valeurs a = 4K, 6 = atK',
d'où Q HZ ^*, et ayons égard au coefficient i — ( — i)'*, qui s'annule lorsque n est un nombre pair; on en lire la série
sn
ITZ f q . T.x q^ . Stcx N
X = -j-fj ( — - — - sm — =7 -\ — - sin — jj- -h . . , I
En passant à la fonction en a:, nous conserverons la période
mais nous prendrons
et pour pôles principaux les quantités
2K-i-tK'= — - — et 4KH-tK = .
L'expression ainsi obtenue
en
a; = - S H- Ao r D^ log H (a? ~ ^±^ \
^D.logH(.-i^)]
DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 883
se simplifie en remarquant d^abord que Ton a
On trouve ensuite, en introduisant, comme loul à l'heure, la fonction ^{x) au lieu de H(j?),
en
^=S + AorD;,loge^a7-|^-DxlogB/a?-f-2^J
Le coefficient Aq, qui est le résidu de cno? pour
a: = 2KH-tK', s'obtient par la relation
cn(2K-+-{K'-4-e) = , — ^,
et il est égal à -r- Nous trouvons ensuite, en retranchant membre à membre les égalités
D,ioge(x--) = ^2reQiïï"°(~^"^T)'
la série
ou bien
Sir xr' Q'* . ^'^ inr.x 7 — Vx. sin — CCS •
En introduisant les valeurs azz:4K, 6 = 2K4-2£K', on
obtient Q = iq^ ; on voit aussi qu'il faut supposer n impair.
Remplaçant donc /i par /n = 2/2+1, le facteur sin — devient
(— i)«, et la quantité y-^^ se change en^lii^J. Cela étant, nous trouvons
en ar = — s H jr=r > — ? ces — =^ ,
et il suffît de faire x =: — pour prouver que l'on a
En considérant en dernier lieu la fonction dnar, les périodes seront •
les pôles
jK'= r et 3iK'= ^.
en E
De régalité en(iK' -+-e) = -: > on conclut que le ré-
^ ^ ' I sn £ ^
sidu Aq est égal à -r; nous avons, par suite,.
dn.=-S+4[D,H(x-|)-D,H(^-^')] et, plus simplement, en employant la relation
DxlogH /^- ^^ = D^loge(a-)-+- ?^, dna7= — S-+- j Td^c loge ^ar -h 7) — D^^ logera:— |^1 .
La constante S se détermine en posant a: = K-(-{K' ou
bienxzz: ~ — ^ — ; on a ainsi dnj?z=o, et les valeurs de
Txi^/\ b a ^ b a -H 6 , ,.•
D;plog0(j7)pourx — 7 = *■ et x 4- - = — ; — sobtien-
nent comme on va voir. La première est nulle diaprés le développement en série, et la seconde se tire deTégalité
Da:loge/a?-+-~j =D;clogH(a7)— ^; en y faisant œ^=L -, on trouve la quantité
2»ir a ce qui nous donne
a La formule conduit donc à la série suivante :
a la Àtà I — Q*"
[. firnzx mzb\ . finx mzbW sin ( i ) — sin { I
et, en simplifiant,
2 7C Sic v^ O» . /iTc^ a/i7ca? dna?= h -^ > — r\^„ siD ces •
Cela étant, on tire des expressions des périodes
. rnzb ^»«— I Q« ç«»
sm = - — ; 5 — \^, ■ = — - — r->
d^oii résulte, après une réduction facile,
Aux séries qu^on vient d^obtenir, je joindrai celles qui
concernent les quantités et > afin de donner des
^ sna? eux
exemples de développements d'une autre nature.
(— i)», et la quantité — %Tr- se change en^^ — ^J119^ Cela étant, nous trouvons
en a? = — S -f- -nr 7 — ces
et il suffît de faire x-=i — pour prouver que Ton a
En considérant en dernier lieu la fonction dnor, les périodes seront •
les pôles
iK'=r et 3ïK'=^.
en s De réealité en(/K' -+-£) = — — » on conclut que le ré-
sidu Aq est égal à t; nous avons, par suite,.
dn3r=— S-+- j Fd^^H^x- ^^-D^H^ar— ~^1 et, plus simplement, en employant la relation
Dx logH (^ - ^) = !>' loge(a-) -h ^ , dnar = — Sh- j [0:^ logera: -h 7 j — D^ logera?— -^l .
La constante S se détermine en posant aî = K-f-iK' ou
bien x-=. — — ; on a ainsi dnj:z=o, et les valeurs de
D;tloge(j7)pour^— j = - etar-h7= sobtien-
DES F01CGTI01C8 ELLIPTIQUES. 885
nent comme on va voir. La première est nulle diaprés le développement en série, et la seconde se tire de Fégalité
en y faisant X'=i -y on trouve la quantité
2 lit
ce qui nous donne
La formule conduit donc à la série suivante :
a la ^j — Q»«
[. /imzx n'nb\ . t ilUX nizhW sin ( \ ) — sin ( )
et, en simplifiant,
dn2r= h -T- > — V.. ' siD CCS •
a. la ^^\ — Q''^ aa a
Cela étant, on tire des expressions des périodes
. nt:h q^^ — i Q» or*»
gîn — ± . ^ — * .
d^où résulte, après une réduction facile,
an jp = h — — > - — ces
K ^ K jÈd I -H y«« ^^* K
Aux séries qu^on vient d'obtenir, je joindrai celles qui
concernent les quantités et — j afin de donner des
exemples de développements d'une autre nature.
La première se tire de la relation déjà employée sna7= j[Dxloge(a7)— DxIogBiCa?)],
où l'on suppose a = 4K. et 6 = 2iK'. En y changeant x
en 0? H — 1 elle devient
i^ = D,ioge(x+ ^) -Déloge. (x + ^) .
sn c'est-à-dire
' =D^logH(a:)-D:rlogH,(a7).
snj?
Les développements deD;clogH(a7) et DxlogHj(j:) qui ont été donnés (p. 88o) conduisent à cette expression
— = — ( tang h cot — )
H- -1- > ^ J ^^ sin
En supposant a = 4K., Q =z ^- et simplifiant, oq obtient la formule de Jacobi
I t: 1 ITZ / q . Tzx a* . 3t:x \
snx 2K . ira: K Vi— a 2K i— a» aK /
sm-=7 ^ ^ '
J'emploierai ensuite Tégalité
cna:= ^ D^plogefar— ^j — D^logO/ar-t- ^j L
qui suppose a.= 4K., 6 = 2K + a/K'. Elle devient, si Ton change x en œ -\ — }
OU encore
en Nous en tirons^ par suite^
cnâ?
— = - C0t( H- --) — COt( --)
nx a Y. \« 4/ \ CL 4/J
Introduisons maintenant les valeurs a = 4^9 Q = iq^i et remarquons que Ton a
/ira? TuN /tzx ic\ 2
cot ( h -r ) — cot ( ) = ,
\ a 4/ \ Cl II I tzx
un calcul, tout semblable à celui qui a été fait pour en a:, nous donne^ en changeant encore n en m = a/i + i, la série
k' TZ i 271 v^( — 1)"7'» rrnzx
— ^ CÔS
cnx 2K TZX K jUi i+cr"* 2K
J^indiquerai enfin, comme conséquence de la relation qui a été établie page 828,
/•*'., , . ix %'{x)
la formule
Je' tm m j J^ T.TZ'S^ q^ . nizx
puis celle qu^on en tire en difTéren liant
K-^ii
Je terminerai ce que je me suis proposé de dire sur ces expressions, toutes d^une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques et ses applications, en faisant voir comment se vérifient, au moyen de leurs développements en séries de sinus et de cosinus, les équations différentielles relatives à sno?, cnx et dno?.
Désignons par m et m' tous les nombres impairs positifs et négatifs, par la lettre n tous les nombres entiers pairs et impairs; en posant
ttnix
on aura
ikK aKa? ,, sn = U,
7C or
en = V,
K , %Kx -- - an = W.
Cela posé^ aux équations
Dx snar = cnâ? dn:r, Dx on a? = — sna? dna?, Dx dnjî= — ^* sna? en a?,
correspondent celles-ci :
D^=2tUW,
Da:=2tUV,
que nous nous proposons de vérifier.
Considérons pour cela les produits
m' -Un
m--hin
uw=2â
fj * g{m+in)ix m ■+■ m»
uv= y-^^ ^ -
et observons qu'on a identiquement
En posant
de sorte que M et M' soient des nombres impairs, et N un
entier quelconque, on pourra écrire
UW = y {Ç^J^ ( ' £M-m^\
Ces expressions étant comparées respectivement à D^U, DarV, D-pW, on reconnaît qu'il suffît, pour démontrer les relations différentielles, d'établir qu'on a, en supprimant les accents,
Le procédé à suivre pour cela étant le même dans les trois équations, nous considérerons pour fixer les idées la première. Distinguons à cet effet les valeurs positives des valeurs négatives du nombre m; les premières conduisent à l'expression
qu'en supposant M positif nous écrirons
^ / qm-U qm \
d'après les identités
rin
1 ^ y/it I 4 qm
