CHAPITRE I. 5g

faisant usage de Tune des formules (4) ^^ (^)» comme dans le cas qui sera développé au n^ 443. 2^ Supposons

/If -4- I , .

\-p z=i — € ou (m -h ne) -{- i -h np := o^

e étant toujours un entier. Ce cas ne diffère du précédent que par un changement de notation , ainsi qu^on Fa vu n° 440; au reste, on aperçoit immédiatement que, si m-^-i-hrip est négatif, la formule (5 ) ramène successivement Tintégrale proposée à d^autres de même forme, qui s'en déduisent par le changement de m en

/»-f-/?, /in-a/i, ..., m-+-(e — i)/i

la dernière de ces intégrales est donnée par la même formule (5) qui, en remplaçant m par m -4- (e — i) n, se réduit à

Lorsque m-hnp-h-i est positif, si l'on désigne sa valeur par ne, la formule (3) ramènera l'intégrale proposée à une autre de même forme, qui n'en diffère que par le changement de m en m — (e — i)/i; mais la valeur de cette dernière intégrale devra être cherchée par la méthode de substitution.

443. Faisons maintenant abstraction des deux cas d'intégrabilité. Les formules (3) et (5) montrent que l'intégrale proposée peut être ramenée à une autre, qui n'en diffère qu'en ce que l'exposant m s'y trouve remplacé par m itz in, i étant un entier positif que l'on peut prendre à volonté. On peut choisir cet entier de manière que m d= in soit compris entre deux multiples consécutifs quelconques de n, par exemple entre zéro et n; on peut

6o CALCUL INTÉGRAL.

aussi déterminer le nombre i de manière que m •+- in

soit compris entre et H — •

Ensuite on voit, par les formules (4) c*^ (6)> q^ie l'intégrale proposée peut être ramenée à une autre qui n'en diffère qu'en ce que l'exposant p est remplacé par p dbj, j étant un entier positif quelconque. Or, quel que soitp^ on choisit l'entier jf de manière que pdzj soit compris entre deux entiers consécutifs quelconques, par

exemple entre zéro et i, ou, si l'on veut, de manière que

p±j soit compris entre et H — •

Donc, en résumé, tous les cas des différentielles binômes qui ne rentrent pas dans ceux d'intégrabilité peuvent être ramenés au cas où les nombres p et - sont

compris l'un et l'autre entre zéro et i ou entre

et H — j à volonté.

444. L'exposant n, qui figure dans la différentielle binôme, peut être réduit à l'unité, mais alors l'exposant /n devient fractionnaire. Soit

«« = r, d'où jr = r«- ^ = - <" dti

posons en outre

on aura

Les cas d'intégrabilité sont alors ceux où l'un des nombres p, y, P "4- ? est entier, et Ton peut toujours ramener l'intégrale d'une différentielle binôme, qui ne tombe