CHAPITRE I

Changeons enfin m en m + n dans la formule (3) et p enp+i dans la formule (4); résolvons ensuite chacune des équations ainsi obtenues par rapport à l'intégrale qui est contenue dans son second membre, il viendra

= r : ^- ^—^ — î ^-^— I as^-^'^fa -+■ hx'^ydx^

lx^[a + ba^)dx

x^* [a 4- ba^]P^^ m -^\ -^nip-^i) ^i{P'hi)a n[pH-i)a

j x'^la-h bx'^)P-*'*dx,

Les formules (3), (4), (5), (6) permettent d'effectuer dans tous les cas la réduction que nous avons en vue. Il faut remarquer que les formules (3) et (4) deviennent illusoires si l'on a

m-4- I TO-î- I -+- ii/> = o ou h^ = o;

mais on est alors dans le second des deux cas d'intégra* bilitéy et l'intégrale proposée peut être obtenue par une transformation propre à rendre sa différentielle rationnelle, ainsi que nous l'avons vu au n^ 440. Le nombre p étant supposé fractionnaire, la formule (6) n'est jamais illusoire, mais la formule (5) le devient quand m-hi = o; on est alors dans le premier cas d'intégrabilité, et la valeur de l'intégrale proposée s'obtiendra par la méthode de substitution.

442. Examinons d'abord l'usage que l'on peut faire de nos formules dans chacun des deux cas d'intégrabilité.

58 CALCUL IHTéGILAL.

i« Soit

m -hi

= tf ou m — 7z^ -f- 1 = Oy

e étant un entier.

Le nombre n étant plus grand que zéro, si m est positif, e sera également positif. Alors, au moyen de la fo]> mule (3), on ramènera successivement Tintégrale proposée à d'autres intégrales de même forme, et qui s'en déduiront en remplaçant l'exposant m par

la valeur de la dernière de ces intégrales est donnée par la même formule (3), qui, en remplaçant m par m — (e — i)netà cause de m — ne -f- 1 = o, se réduit à

[a -+- hx^\P-^^

dans ce cas, l'intégrale proposée est algébrique.

Si m est négatif, e est lui-même négatif; écrivant donc — e au lieu de e, on aura

• = — e ou /w -h /îtf -f- 1 = G.

Alors, au moyen de la formule (5), on ramènera successivement l'intégrale proposée à d'autres intégrales de même forme, qui s'en déduisent en remplaçant m par

W-i-lI, /n -h 2IZ9 ..., /II-+-7ï(c — l);

mais la dernière intégrale ne sera plus susceptible de la même réduction, parce que la formule (5) devient illusoire quand on remplace m par m + ne, à cause de l'hypothèse m -f- ne -f- 1 = o ; il faut, à ce moment, revenir à la méthode de substitution du n^ 440. Toutefois, on pourra, si on le juge à propos, abaisser l'exposant p en