Exemples. — i® Considérons en premier lieu Tin

y OÙ m est un nombre entier; cette in-

tégrale appartient à la classe de celles que nous venons d'étudier; on a icia=iy i= — i, /i=2, p= 9

et, comme l'un dés nombres 5 — est entier, la con-

dition d'intég:rabilité se trouve remplie. La formule (3) du n^ 441 devient, dans le cas actuel,

/x^dx x^-^^t — x^ m — i rx''^*dx ^l — X»'"" ^ '^ J V^I— a:*

Supposons d'abord m positif et faisons successivement m = 2// + it m=2[i, fi étant un entier. Dans le cas de m impair, l'intégrale proposée est algébrique, et la formule précédente fait connaître sa valeur^ lorsque m est pair, la même formule ramène l'intégrale proposée

à 1 ■ dont la valeur est

dx

= arc sina? H- const. ;

on trouve, en désignant par C une constante arbitraire,

. 2fx(2p— 2)...2 1 , ^

et

x*i*^jc i/i — x* r ,,, au — I . ,

, (2fX-l)(2ft-3)^,^, ^ ^(2p-l)...3 (2^— 2)(2f*— 4) ••• {2p

i Jl LL-T aresmx -+- C.

(2/A— 2)(2fA — 4J...2.

Lorsque m est négatif, il faut recourir à la formule (5) du n? 4*41 , ou, ce qui revient au même, changer m en m + 2 dans la formule écrite plus haut et la résoudre ensuite par rapport à l'intégrale qui est contenue dans son second membre ; on a ainsi

/x"^dx g^+Vi—o:' m H- 2 Cx'^'^^dx

Nous ferons successivement m = — 2fx, 171^= — (ap-f-i): dans le premier cas, l'intégrale proposée est algébrique; dans le second cas, elle se ramène à l'intégrale de la dif-

dx férentielle — === qu'on peut rendre rationnelle par

une substitution, mais qu'onréduitplus simplement à une