Considérons, par exemple, l'Intégrale

cos'^xiij:,

OÙ n est an entier positif. On a, si n est pair [voir mon Traité de J^rigonométrie)j

2"~*cos*j: = cos/iar -»■- - cos(/i — 2) « H ^ cosln > — 4i ^~'" • • •

^/i(,i~l)...(^-Hi)

et, si n est Impair,

a^^'cos^x = cos/zx H — cos « — 2 J j: h ^ ces [n — 4 ) -^ ~t- • • •

cosx.

Donc on a, pour le cas de n pair,

„ , r . , sinnx nsinln — 2)x n(n — i] sinfn — 4)*

J n in — 2 1.2 n — 4

■+ ^ h const.,

et, pour le cas de n impair,

ùanx n s\n{n — 2)^ n'n — i) sinf/? — f\'x

2""' I cos'* Xilx rrr: ! ^ / 1-

sinx -h consl.

74 GilLCUL INTÉGIIÀL.

En changeant or en x, dans ces formules, on oblien-

dra la valeur de I sln^x^x; on trouvera, dans ce qui va suivre, de nouvelles formes des mêmes intégrales.

Intégration des différentielles de la forme

sm^xcos'^xdx.

454. La différentielle dont il s'agit ici est réductible à une difierentielle binôme ; car, si Ton pose

sinx— r*, cosx=(i — r)*, dx-=.-t *(i — /) v/r, elle devient

cette différentielle est intégrable quand Fun des membres

est entier, et, dans le cas contraire, elle peut être susceptible de réduction, ainsi qu'on Fa vu au n^ 443.

On retrouve les mêmes résultats en appliquant directement la règle de l'intégration par parties à la différentielle sin'*a:cos'»a:rfar, et, comme les expressions de ce genre se présentent fréquemment, il ne sera pas inutile de développer le calcul.

La différentielle proposée peut être mise sous la forme

cos'*~*jr X sin'^xcosxdlr;

le second facteur est là différentielle de '■ \ par con-

chapithe I. yS

séquent, l'intégration par parties donnera

l I sin'^JTCOS'^x^a;

supprimons sous le signe / , dans l'intégrale du second

membre, un facteur sin^x et introduisons à sa place le facteur égal i — cos^ a:, cette intégrale deviendra la différence des deux suivantes :

/sin"..co,-..^-Jsin'-.cos-.^;

faisant passer la seconde dans le premier membre , et multipliant ensuite par > il viendra

(a) f sin''*4?co8"«ajî= ! 1 8in'"xcos*-«a:dj:.

Si l'on change j: en x, dx en — dx, que l'on permute les lettres m, n, puis qu'on multiplie par — i , on aura encore

/ON T- « n j 8in'"-*.rcos'»-^*jî m — i C ,

Enfin, si l'on remplace n par iz-f-a dans l'équation (a), m par m 4- a dans l'équation (3), et qu'on résolve ensuite chaque équation par rapport à l'intégrale contenue dans son second membre, on aura les deux nouvelles formules

v4 I sm'"«co8*4?rfa?= 1 I sm'"a?co8*^*xar,

ft:\ r » m, ^ J sin*"-^* jr cos**-*-* j: /n -^ /î -h a f*. „. ^ . (5) I sm^^cos^arolr = i f sin''*~*"*4?co8"araj:.

76 CALCUL IIVTÉGRAL.

Les formules (4) et (5) sont illusoires^ la première quand » = — i , la seconde quand m = — i ; mais, dans Tun et l'autre cas, la condition d'intégraLilité est remplie. Les formules (2) et (3) deviennent elles-mêmes illusoires quand m-|- /i = o, ce qui répond encore à un cas d'intégrabilité ; mais alors la formule ( i ) nous fournit une réduction ; elle devient en effet, pour 71 = — m,

/tan '»'"■*'* X r tang"*ar£ir = — I tang'""*"*ar£ir,

ou, en écrivant m — a au lieu de m,

, \ r « •» tanç'"-*j? r „ , , (7) I tang'"ar£i!r= f tang'"-'*£/!r.

Laissant de côté les cas d'intégrabilité, qui se ramènent toujours, quand cela est nécessaire, à celui d'une différentielle rationnelle, on voit que les formules (2) et (4) permettent de diminuer ou d'augmenter l'exposant n d'un nombre pair quelconque; pareillement, au moyen des formules (3) et (5), on peut diminuer ou augmenter l'exposant m d'un nombre pair quelconque; donc il est possible de ramener les deux exposants à être compris entre les limites — i et -h i ou o et a.

Dans le cas particulier où les exposants m el n sont entiers, on pourra poursuivre la réduction de chacun de ces exposants tant qu'il ne sera pas égal à — i ou égal à l'autre exposant changé de signe ; quand ce dei^ nier cas se présente, on a recours aux formules (6) et ( 7 ), au moyen desquelles on peut continuer la réduction jusqu'à ce que les deux exposants soient nuls ou égaux à -+-I et à — i. Nous ajouterons que les formules (6) et (7) peuvent être obtenues immédiatement, en remarquant que

d.v tane'"-^*jr

tang*" X — r— = 'r const.

cos'x m-r- 1