X-+-C, — cosx-i-C, sinx-f-C
C étant une constante ; la quatrième est égale à
1 /*. , cosax ^ sîn*j? ^ cos'o?
- Isin:txdx = ^ hC = f-C=: h C,
C désignant toujours une constante arbitraire. On a ensuite
/dx r dx I cos*ij?
sin X J a sin ^ x cos^ ;r ^ tang J j: '
= log tang - J? -^- C,
smj: ^ "a
ce qui s'accorde avec ce qui a été dit au d? 44. Changeant dans la précédente formule or en xH — 1 puis en ax.
y8 CALCUL nCTÉGRÀL.
il vient
sinxcosj:
On a enfin
= log tango: -h C.
tang^r dx =J ^^^^ = — log cos* + G,
/Ccosxdx COtxdx = I : =: loff SlTiX + G. J sinjc ^
456. Si le nombre n est nul, la formule (3 ) du n** 4S4 donnera, dans le cas de m pair et .positif,
sin'^xdx = '- 1 si
sm''*^** H sin'"-'.
H- : : 7-^ 7 1- const.,
et, dans le cas de m impair,
X H sm'"~'ar
sm'"jirir r=— n sm'"-*,
(m — i]fm — 31. ..a"!
-h ^^ yr -h const.
TT
En changeant a: en - -h.x, on aura deux autres formules qui donneront la valeur de
cos'"xdx.
pour le cas de m pair et pour celui de m impair. Il faut remarquer que ces formules peuvent se déduire immédia-
CBIPITRE I. mg
tement de celle du n^ 445, en remplaçant dans celles-ci X par sin j? ou par cosx.
smar H- b cosx
se ramène immédiatement à l'une de celles donl il vient d'être question, en posant
£i = rsina, ^ = rcosa;
car elle devient alors
r J cos[:i: — a)
On peut aussi déterminer l'intégrale plus générale
dx a sinx -+- b coso: -4- c
car, en faisant
a=rsina9 ft = rcosa, =zzz.k}^
on a
/• kdx
2COS*^(jr— a) i:x;A[*tang*^(x — a)'
ou, en posant k tang - (x — a) = f ,
dx ±2^ r dt ^
a siax -h b ces x -hc c — rj izhr*'
et l'intégrale du second membre de cette formule a pour
valeur arctangt ou logi/— — > selon que zbft* est posi tif ou négatif.
8o CALCUL INTÉGRAL.
