CHAPITRE II. l4l

Signes contraires. Quant à la première formule, elle cesse d'être exacte lorsque R est ^i, et dans ce cas sa valeur est nulle ; on a, en effet,

^ I — — COSM

I — Reosw R

I — aR cosû> -\- K' a i

j cos<u H r

Si Ton multiplie par don cette identité et qu'on intègre ensuite de o à aTT, la première des intégrales du premier membre sera égale à 2 tt, dans l'hypothèse de R <^ i ; la seconde est donc nulle , et l'on a

I — ■-- COSM

1 COSfli) H r

dans le cas de R = i , l'intégrale est évidemment égale àir.

a* Soit

F(z)=tf»;

la fonction F(z) reste continue, quelle que soit z, et, si l'on fait a = o, R = m, la formule (5) donnera

d'où

/ e^ «*••* cos(msm6>)d(o = air,

e'"~*'*sin(m8ina))</« = o ;

l'élément de la première intégrale prend les mêmes valeurs quand on donne à o) deux valeurs complémentaires à air; il s'ensuit que, si l'on arrête l'intégrale à a) = ?r,

l42 CALCUL IVTÉGRAL.

on aura la moitié de la valeur totale; en d'autres termes, on a

f^meoêm ÇQ5 ^m SUiià) d(ù = Itf

formule que Poisson a obtenue par une voie difTérente dans le XIX* cahier du Jownal de L'Ecole Polytechnique.

3® Posons encore

F(s) = log(i H- «) = log(i H- p«^v'=î), 0) étant compris entre — ir et H- tt. Si l'on fait

on aura

I + p cosw = r cos^'v p sinca = r sin^'*

d'où

r = ^i + QpcoswH-p', '^ = arc tang

psino